Question

七进位两位数 $\underline{a}\,\underline{b}$ 的值等于九进位两位数 $\underline{b}\,\underline{a}$ 的值。 $a + b$ 是多少？

The value of the two-digit number $\underline{a}\,\underline{b}$ in base seven equals the value of the two-digit number $\underline{b}\,\underline{a}$ in base nine. What is $a + b?$

$7$

$9$

$10$

$11$

$14$

答案：A

知识点：进制位值丢番图方程

难度评级：1130

小提示：

按位值计算，七进位的 $\underline{a}\,\underline{b}$ 是 $7a + b$ ，九进位的 $\underline{b}\,\underline{a}$ 是 $9b + a$ 。

By place value, $\underline{a}\,\underline{b}$ in base seven is $7a + b,$ and $\underline{b}\,\underline{a}$ in base nine is $9b + a$

大提示：

方程化简为 $3a = 4b$ ；再找出 $a$ 是合法七进位数字的解。

The equation reduces to $3a = 4b;$ find digits with $a$ a valid base-seven digit

解答：

按位值，七进制的 $\underline{a}\,\underline{b}$ 是 $7a + b$ ，九进制的 $\underline{b}\,\underline{a}$ 是 $9b + a$ 。令两者相等： $7a + b = 9b + a$ ，所以 $6a = 8b$ ，即 $3a = 4b$ 。因此 $a = 4t$ ，且 $b = 3t$ 。因为它们是两位数， $t \ne 0$ ；又因为 $a$ 是七进制数字，所以 $t \le 1$ 。因此 $a = 4$ 、 $b = 3$ ，所以 $a + b = 7$ 。所以答案是 A。

By place value, $\underline{a}\,\underline{b}$ in base seven is $7a + b,$ and $\underline{b}\,\underline{a}$ in base nine is $9b + a.$ Set them equal: $7a + b = 9b + a,$ so $6a = 8b,$ that is $3a = 4b.$ Thus $a = 4t$ and $b = 3t.$ Because these are two-digit numerals, $t \ne 0;$ because $a$ is a base-seven digit, $t \le 1.$ Hence $a = 4$ and $b = 3,$ so $a + b = 7.$ Therefore, the answer is A.

2025 AMC 10B 第 4 题

答案：A

难度评级：1130

小提示：

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解答：

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