Question

Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son $a^{\circ}$ y $b^{\circ}$ , donde $a>b$ y tanto $a$ como $b$ son números primos. ¿Cuál es el menor valor posible de $b$ ?

The acute angles of a right triangle are $a^{\circ}$ and $b^{\circ},$ where $a>b$ and both $a$ and $b$ are prime numbers. What is the least possible value of $b?$

$2$

$3$

$5$

$7$

$11$

Solución:

Sabemos que los ángulos interiores de un triángulo suman $180^{\circ}$ , y como el triángulo en cuestión es rectángulo, por definición uno de los ángulos interiores debe medir $90^{\circ}$ . Por lo tanto, los otros dos ángulos agudos, $a^{\circ}$ y $b^{\circ}$ , deben sumar $180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$ .

Empecemos explorando los mayores valores de $a^{\circ}$ , pues esos darán de forma natural los menores valores de $b^{\circ}$ .

El mayor valor posible de $a^{\circ}$ es $89^{\circ}$ . Esto hace $b^{\circ}=90^{\circ}-89^{\circ}=1^{\circ}$ , que no es primo, así que este caso no es válido.

Siguiendo, el siguiente mayor valor posible de $a^{\circ}$ es $83^{\circ}$ . Esto hace $b^{\circ}=90^{\circ}-83^{\circ}=7^{\circ}$ , ¡que es primo! Por lo tanto, este es el menor valor posible de $b$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We know that the interior angles of a triangle add up to $180^{\circ},$ and since the triangle in question is a right triangle, by definition one of the interior angles must measure $90^{\circ}.$ The remaining two acute angles, $a^{\circ}$ and $b^{\circ},$ must therefore have a sum of $180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.$

Let's begin by exploring the largest values of $a^{\circ}$ and going from there, as those will naturally yield the smallest values of $b^{\circ}.$

The greatest possible value of $a^{\circ}$ is $89^{\circ}.$ This makes $b^{\circ}=90^{\circ}-89^{\circ}=1^{\circ},$ which is not prime, so this is not a valid possible case.

Moving on, the next largest possible value of $a^{\circ}$ is $83^{\circ}.$ This makes $b^{\circ}=90^{\circ}-83^{\circ}=7^{\circ},$ which is prime! Therefore, this is the smallest possible value of $b.$

Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 10B Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años