Question

Un cuadrilátero tiene todos los lados de longitud entera, un perímetro de $26,$ y un lado de longitud $4.$ ¿Cuál es la mayor longitud posible de un lado de este cuadrilátero?

A quadrilateral has all integer side lengths, a perimeter of $26,$ and one side of length $4.$ What is the greatest possible length of one side of this quadrilateral?

$9$

$10$

$11$

$12$

$13$

Solución:

En cualquier cuadrilátero cada lado es más corto que la suma de los otros tres. Sea el lado más largo $s.$ Los demás suman $26 - s,$ así que $s \lt 26 - s,$ lo que da $s \lt 13$ y por tanto $s \le 12.$ ¿Podemos alcanzar $12$ ? Los lados $4, 12, 9, 1$ funcionan, ya que $12 \lt 4 + 9 + 1.$ Así que la mayor longitud es $12.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

In any quadrilateral each side is shorter than the sum of the other three. Call the longest side $s.$ The rest sum to $26 - s,$ so $s \lt 26 - s,$ which gives $s \lt 13$ and hence $s \le 12.$ Can we hit $12?$ The sides $4, 12, 9, 1$ work, since $12 \lt 4 + 9 + 1.$ So the greatest length is $12.$ Therefore, the answer is D.

2023 AMC 10A Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años