Question

Las bolas numeradas $1, 2, 3, \ldots$ se colocan en las cajas $A, B, C, D,$ y $E$ de modo que la primera bola se coloca en $A,$ las dos siguientes se colocan en $B,$ las tres siguientes se colocan en $C,$ las cuatro siguientes se colocan en $D,$ las cinco siguientes se colocan en $E,$ y luego las seis siguientes van en $A,$ etc. Por ejemplo, $22, 23, \ldots, 28$ se colocan en $B.$ ¿Qué caja contiene la bola $2024$ ?

Balls numbered $1, 2, 3, \ldots$ are placed in bins $A, B, C, D,$ and $E$ so that the first ball is placed in $A,$ the next two are placed in $B,$ the next three are placed in $C,$ the next four are placed in $D,$ the next five are placed in $E,$ and then the next six go in $A,$ etc. For example, $22, 23, \ldots, 28$ are placed in $B.$ Which bin contains ball $2024?$

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

Solución:

El grupo $g$ contiene $g$ bolas, así que los primeros $g$ grupos consumen $\tfrac{g(g+1)}{2}$ de ellas. Ahora $\tfrac{63 \cdot 64}{2} = 2016$ y $\tfrac{64 \cdot 65}{2} = 2080,$ lo que coloca la bola $2024$ en el grupo $64$ (bolas $2017$ hasta $2080$ ). Las cajas se repiten en el ciclo $A, B, C, D, E,$ así que el grupo $g$ cae en la caja número $(g - 1) \bmod 5.$ Para $g = 64$ eso es $63 \bmod 5 = 3,$ la caja $D.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

Group $g$ holds $g$ balls, so the first $g$ groups swallow $\tfrac{g(g+1)}{2}$ of them. Now $\tfrac{63 \cdot 64}{2} = 2016$ and $\tfrac{64 \cdot 65}{2} = 2080,$ which puts ball $2024$ in group $64$ (balls $2017$ through $2080$ ). The bins cycle $A, B, C, D, E,$ so group $g$ lands in bin number $(g - 1) \bmod 5.$ For $g = 64$ that's $63 \bmod 5 = 3,$ bin $D.$ Therefore, the answer is D.

2024 AMC 10B Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años