Soluciones del 2024 AMC 10B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

En una larga fila de personas, la $1013$ ª persona desde la izquierda es también la $1010$ ª persona desde la derecha. ¿Cuántas personas hay en la fila?

In a long line of people arranged left to right, the $1013$ th person from the left is also the $1010$ th person from the right. How many people are in the line?

$2021$

$2022$

$2023$

$2024$

$2025$

Conceptos:conteo básico

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Hay $1012$ personas a la izquierda de esta persona y $1009$ a la derecha.

There are $1012$ people to the left of this person and $1009$ to the right

Pista grande:

Suma los dos conteos, pero no cuentes a esta persona dos veces.

Add the two counts, but do not count this one person twice

Solución:

Hay $1012$ personas a la izquierda de este lugar y $1009$ a la derecha. Suma esos dos grupos más la propia persona: $1012 + 1009 + 1 = 2022.$ O, igual de rápido, las dos posiciones se solapan en una persona, así que $1013 + 1010 - 1 = 2022.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

There are $1012$ people to the left of this spot and $1009$ to the right. Add those two groups plus the person themselves: $1012 + 1009 + 1 = 2022.$ Or, just as fast, the two positions overlap on one person, so $1013 + 1010 - 1 = 2022.$ Thus, B is the correct answer.

2.

¿Cuánto vale $10! - 7! \cdot 6!$ ?

What is $10! - 7! \cdot 6!?$

$-120$

$0$

$120$

$600$

$720$

Conceptos:factorial

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Escribe $10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!$ .

Write $10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!$

Pista grande:

Observa que $10 \cdot 9 \cdot 8$ es igual a $6!$ .

Notice that $10 \cdot 9 \cdot 8$ equals $6!$

Solución:

Escribe $10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7! = 720 \cdot 7!.$ Pero también $720 = 6!$ , así que $10! = 6! \cdot 7! = 7! \cdot 6!.$ Los dos términos son iguales. Eso hace que $10! - 7! \cdot 6! = 0.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

Write $10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7! = 720 \cdot 7!.$ But $720 = 6!$ too, so $10! = 6! \cdot 7! = 7! \cdot 6!.$ The two terms are the same. That makes $10! - 7! \cdot 6! = 0.$ Therefore, the answer is B.

3.

¿Para cuántos valores enteros de $x$ se cumple $|2x| \le 7\pi$ ?

For how many integer values of $x$ is $|2x| \le 7\pi?$

$16$

$17$

$19$

$20$

$21$

Conceptos:valor absoluto estimación conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1050

Pista pequeña:

Divide entre $2$ : la desigualdad es $|x| \le 3.5\pi$ .

Divide by $2$ : the inequality is $|x| \le 3.5\pi$

Pista grande:

$3.5\pi \approx 10.99,$ así que $x$ recorre los enteros con $|x| \le 10$ .

$3.5\pi \approx 10.99,$ so $x$ ranges over the integers with $|x| \le 10$

Solución:

Divide entre $2$ para obtener $|x| \le 3.5\pi \approx 10.996.$ Los enteros que sirven van desde $-10$ hasta $10,$ y hay $21$ de ellos. Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Divide by $2$ to get $|x| \le 3.5\pi \approx 10.996.$ The integers that fit run from $-10$ up to $10,$ and there are $21$ of them. Thus, E is the correct answer.

4.

Las bolas numeradas $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots$ se colocan en $5$ recipientes, etiquetados $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ y $E,$ mediante el siguiente procedimiento. La bola $1$ se coloca en $A,$ y las bolas $2$ y $3$ en $B.$ Las siguientes $3$ bolas se colocan en $C,$ las siguientes $4$ en $D,$ y así sucesivamente, volviendo a $A$ después de colocar bolas en $E.$ (Por ejemplo, las bolas $22,$ $23,$ $\ldots,$ $28$ se colocan en $B$ en el paso $7$ .) ¿En qué recipiente se coloca la bola $2024$ ?

Balls numbered $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots$ are deposited in $5$ bins, labeled $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ and $E,$ using the following procedure. Ball $1$ is deposited in bin $A,$ and balls $2$ and $3$ are deposited in bin $B.$ The next $3$ balls are deposited in bin $C,$ the next $4$ in bin $D,$ and so on, cycling back to bin $A$ after balls are deposited in bin $E.$ (For example, balls numbered $22,$ $23,$ $\ldots,$ $28$ are deposited in bin $B$ at step $7$ of this process.) In which bin is ball $2024$ deposited?

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

Conceptos:número triangular aritmética modular

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

El grupo $g$ tiene $g$ bolas, así que los grupos $1$ hasta $g$ usan $\tfrac{g(g+1)}{2}$ bolas.

Group $g$ has $g$ balls, so groups $1$ through $g$ use $\tfrac{g(g+1)}{2}$ balls

Pista grande:

Encuentra el grupo que contiene la bola $2024,$ luego lee su caja a partir de $g \bmod 5,$ con el grupo $1$ correspondiendo a $A$ .

Find the group containing ball $2024,$ then read its bin from $g \bmod 5,$ with group $1$ corresponding to $A$

Solución:

El grupo $g$ contiene $g$ bolas, así que los primeros $g$ grupos consumen $\tfrac{g(g+1)}{2}$ de ellas. Ahora $\tfrac{63 \cdot 64}{2} = 2016$ y $\tfrac{64 \cdot 65}{2} = 2080,$ lo que coloca la bola $2024$ en el grupo $64$ (bolas $2017$ hasta $2080$ ). Las cajas se repiten en el ciclo $A, B, C, D, E,$ así que el grupo $g$ cae en la caja número $(g - 1) \bmod 5.$ Para $g = 64$ eso es $63 \bmod 5 = 3,$ la caja $D.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

Group $g$ holds $g$ balls, so the first $g$ groups swallow $\tfrac{g(g+1)}{2}$ of them. Now $\tfrac{63 \cdot 64}{2} = 2016$ and $\tfrac{64 \cdot 65}{2} = 2080,$ which puts ball $2024$ in group $64$ (balls $2017$ through $2080$ ). The bins cycle $A, B, C, D, E,$ so group $g$ lands in bin number $(g - 1) \bmod 5.$ For $g = 64$ that’s $63 \bmod 5 = 3,$ bin $D.$ Therefore, the answer is D.

5.

En la siguiente expresión, Melanie cambió algunos de los signos más por signos menos:

$1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + 97 + 99$

Cuando se evaluó la nueva expresión, resultó negativa. ¿Cuál es el menor número de signos más que Melanie pudo haber cambiado por signos menos?

In the following expression, Melanie changed some of the plus signs to minus signs:

$1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + 97 + 99$

When the new expression was evaluated, it was negative. What is the least number of plus signs that Melanie could have changed to minus signs?

$14$

$15$

$16$

$17$

$18$

Conceptos:sumatoria optimización acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

La suma completa es $1 + 3 + \cdots + 99 = 50^2 = 2500;$ cambiar el signo de un término $t$ reduce la suma en $2t$ .

The full sum is $1 + 3 + \cdots + 99 = 50^2 = 2500;$ flipping a term $t$ lowers the sum by $2t$

Pista grande:

Para bajar de $0$ con la menor cantidad de cambios, cambia los términos más grandes; su total duplicado debe superar $2500$ .

To go below $0$ with the fewest flips, flip the largest terms; their doubled total must exceed $2500$

Solución:

La suma completa es $1 + 3 + \cdots + 99 = 50^2 = 2500.$ Cambiar el signo de un término $t$ baja el total en $2t,$ así que para volverse negativo los términos cambiados deben sumar más de $1250.$ La jugada codiciosa es cambiar los números impares más grandes: cambiar los $k$ mayores da $99 + 97 + \cdots = k(100 - k).$ Queremos $k(100 - k) \gt 1250.$ En $k = 14$ es solo $1204,$ pero en $k = 15$ salta a $1275.$ Así que $15$ cambios lo logran. Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The full sum is $1 + 3 + \cdots + 99 = 50^2 = 2500.$ Flipping a term $t$ drops the total by $2t,$ so to go negative the flipped terms have to add up to more than $1250.$ The greedy move is to flip the biggest odd numbers: flipping the top $k$ gives $99 + 97 + \cdots = k(100 - k).$ We want $k(100 - k) \gt 1250.$ At $k = 14$ it’s only $1204,$ but at $k = 15$ it jumps to $1275.$ So $15$ flips do it. Thus, B is the correct answer.

6.

Un rectángulo tiene lados de longitud entera y un área de $2024.$ ¿Cuál es el menor perímetro posible del rectángulo?

A rectangle has integer side lengths and an area of $2024.$ What is the least possible perimeter of the rectangle?

$160$

$180$

$222$

$228$

$390$

Conceptos:factor perímetro optimización

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Para un área fija, el perímetro es mínimo cuando los dos lados son lo más cercanos posible a ser iguales.

For a fixed area, the perimeter is smallest when the two sides are as close to equal as possible

Pista grande:

$2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23;$ busca un par de factores cerca de $\sqrt{2024} \approx 45$ .

$2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23;$ look for a factor pair near $\sqrt{2024} \approx 45$

Solución:

El perímetro $2(\ell + w)$ con $\ell w = 2024$ es mínimo cuando $\ell$ y $w$ están lo más cerca posible entre sí. Factoriza $2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23.$ El par de divisores más cercano a $\sqrt{2024} \approx 45$ es $44 \times 46,$ que da un perímetro de $2(44 + 46) = 180.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

The perimeter $2(\ell + w)$ with $\ell w = 2024$ is smallest when $\ell$ and $w$ are as close together as possible. Factor $2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23.$ The divisor pair nearest $\sqrt{2024} \approx 45$ is $44 \times 46,$ which gives perimeter $2(44 + 46) = 180.$ Therefore, the answer is B.

7.

¿Cuál es el residuo cuando $7^{2024} + 7^{2025} + 7^{2026}$ se divide entre $19$ ?

What is the remainder when $7^{2024} + 7^{2025} + 7^{2026}$ is divided by $19?$

$0$

$1$

$7$

$11$

$18$

Conceptos:aritmética modular factorización exponente

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

Factoriza sacando $7^{2024}$ .

Factor out $7^{2024}$

Pista grande:

El factor restante es $1 + 7 + 49;$ revisa su relación con $19$ .

The remaining factor is $1 + 7 + 49;$ check its relationship to $19$

Solución:

Saca la potencia común: $7^{2024} + 7^{2025} + 7^{2026}$ $= 7^{2024}(1 + 7 + 49)$ $= 7^{2024} \cdot 57.$ Y $57 = 3 \cdot 19,$ así que el producto es un múltiplo de $19.$ El residuo es $0.$ Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Pull out the common power: $7^{2024} + 7^{2025} + 7^{2026}$ $= 7^{2024}(1 + 7 + 49)$ $= 7^{2024} \cdot 57.$ And $57 = 3 \cdot 19,$ so the product is a multiple of $19.$ The remainder is $0.$ Thus, A is the correct answer.

8.

Sea $N$ el producto de todos los divisores enteros positivos de $42.$ ¿Cuál es el dígito de las unidades de $N$ ?

Let $N$ be the product of all the positive integer divisors of $42.$ What is the units digit of $N?$

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Conceptos:conteo de factores dígito de las unidades emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Un número con $d$ divisores tiene un producto de divisores igual a sí mismo elevado a la potencia $\tfrac{d}{2}$ .

A number with $d$ divisors has divisor product equal to itself raised to the $\tfrac{d}{2}$ power

Pista grande:

$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ tiene $8$ divisores, así que $N = 42^4;$ sigue solo el dígito de las unidades.

$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ has $8$ divisors, so $N = 42^4;$ track only the units digit

Solución:

Como $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ tiene $(1+1)^3 = 8$ divisores, podemos emparejar cada divisor con su complementario, así que $N = 42^{\frac{8}{2}} = 42^4.$ Solo importa el dígito de las unidades, y $2^4 = 16$ termina en $6,$ así que $42^4$ también. Por lo tanto, la respuesta es D.

Since $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ has $(1+1)^3 = 8$ divisors, we can pair each divisor with its complement, so $N = 42^{\frac{8}{2}} = 42^4.$ Only the units digit matters, and $2^4 = 16$ ends in $6,$ so $42^4$ does too. Therefore, the answer is D.

9.

Los números reales $a,$ $b,$ y $c$ tienen media aritmética $0.$ La media aritmética de $a^2,$ $b^2,$ y $c^2$ es $10.$ ¿Cuál es la media aritmética de $ab,$ $ac,$ y $bc$ ?

Real numbers $a,$ $b,$ and $c$ have arithmetic mean $0.$ The arithmetic mean of $a^2,$ $b^2,$ and $c^2$ is $10.$ What is the arithmetic mean of $ab,$ $ac,$ and $bc?$

$-5$

$-\dfrac{10}{3}$

$-\dfrac{10}{9}$

$0$

$\dfrac{10}{9}$

Conceptos:manipulación algebraica media

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Media $0$ significa $a + b + c = 0;$ media $10$ significa $a^2 + b^2 + c^2 = 30$ .

Mean $0$ means $a + b + c = 0;$ mean $10$ means $a^2 + b^2 + c^2 = 30$

Pista grande:

Usa $(a + b + c)^2$ $= a^2 + b^2 + c^2$ $+ 2(ab + bc + ca)$ .

Use $(a + b + c)^2$ $= a^2 + b^2 + c^2$ $+ 2(ab + bc + ca)$

Solución:

Las medias nos dicen que $a + b + c = 0$ y $a^2 + b^2 + c^2 = 30.$ Eleva al cuadrado la primera: $(a+b+c)^2$ $= a^2 + b^2 + c^2$ $+ 2(ab + bc + ca),$ así que $0 = 30 + 2(ab + bc + ca)$ y $ab + bc + ca = -15.$ Su media es $-\frac{15}{3} = -5.$ Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The means tell us $a + b + c = 0$ and $a^2 + b^2 + c^2 = 30.$ Square the first: $(a+b+c)^2$ $= a^2 + b^2 + c^2$ $+ 2(ab + bc + ca),$ so $0 = 30 + 2(ab + bc + ca)$ and $ab + bc + ca = -15.$ Their mean is $-\frac{15}{3} = -5.$ Thus, A is the correct answer.

10.

El cuadrilátero $ABCD$ es un paralelogramo, y $E$ es el punto medio del lado $\overline{AD}.$ Sea $F$ la intersección de las rectas $EB$ y $AC.$ ¿Cuál es la razón entre el área del cuadrilátero $CDEF$ y el área del triángulo $CFB$ ?

Quadrilateral $ABCD$ is a parallelogram, and $E$ is the midpoint of the side $\overline{AD}.$ Let $F$ be the intersection of lines $EB$ and $AC.$ What is the ratio of the area of quadrilateral $CDEF$ to the area of triangle $CFB?$

$5 : 4$

$4 : 3$

$3 : 2$

$5 : 3$

$2 : 1$

Conceptos:paralelogramo razón de áreas geometría analítica fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Las razones de áreas no cambian bajo una transformación afín, así que calcula con $A = (0,0),$ $B = (1,0),$ $C = (1,1),$ $D = (0,1)$ .

Area ratios are unchanged by an affine map, so compute with $A = (0,0),$ $B = (1,0),$ $C = (1,1),$ $D = (0,1)$

Pista grande:

Encuentra $F$ como la intersección de la recta $AC$ con la recta $EB,$ luego usa la fórmula del cordón de zapato.

Find $F$ as the intersection of line $AC$ with line $EB,$ then use the shoelace formula

Solución:

Las razones de áreas no cambian bajo una transformación afín, así que coloca coordenadas convenientes: $A = (0,0),$ $B = (1,0),$ $C = (1,1),$ $D = (0,1),$ lo que hace $E = (0, \tfrac12).$ La recta $AC$ es $y = x,$ y la recta $EB$ va desde $(0, \tfrac12)$ hasta $(1, 0);$ se cruzan en $F = (\tfrac13, \tfrac13).$ La fórmula del cordón de zapato da al cuadrilátero $CDEF$ un área de $\tfrac{5}{12}$ y al triángulo $CFB$ un área de $\tfrac13.$ Así que la razón es $\tfrac{5}{12} : \tfrac13 = 5 : 4.$ Por lo tanto, la respuesta es A.

Area ratios don’t change under an affine map, so drop in convenient coordinates: $A = (0,0),$ $B = (1,0),$ $C = (1,1),$ $D = (0,1),$ which makes $E = (0, \tfrac12).$ Line $AC$ is $y = x,$ and line $EB$ runs from $(0, \tfrac12)$ to $(1, 0);$ they cross at $F = (\tfrac13, \tfrac13).$ The shoelace formula gives quadrilateral $CDEF$ area $\tfrac{5}{12}$ and triangle $CFB$ area $\tfrac13.$ So the ratio is $\tfrac{5}{12} : \tfrac13 = 5 : 4.$ Therefore, the answer is A.

11.

En la figura de abajo, $WXYZ$ es un rectángulo con $WX = 4$ y $WZ = 8.$ El punto $M$ está sobre $\overline{XY},$ el punto $A$ está sobre $\overline{YZ},$ y $\angle WMA$ es un ángulo recto. Las áreas de $\triangle WXM$ y $\triangle WAZ$ son iguales. ¿Cuál es el área de $\triangle WMA$ ?

In the figure below $WXYZ$ is a rectangle with $WX = 4$ and $WZ = 8.$ Point $M$ lies on $\overline{XY},$ point $A$ lies on $\overline{YZ},$ and $\angle WMA$ is a right angle. The areas of $\triangle WXM$ and $\triangle WAZ$ are equal. What is the area of $\triangle WMA?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Conceptos:geometría analítica vector descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Coloca $X = (0,0),$ $Y = (8,0),$ $W = (0,4),$ $Z = (8,4),$ con $M = (m, 0)$ y $A = (8, a)$ .

Set $X = (0,0),$ $Y = (8,0),$ $W = (0,4),$ $Z = (8,4),$ with $M = (m, 0)$ and $A = (8, a)$

Pista grande:

La perpendicularidad da $m(8 - m) = 4a;$ las áreas iguales dan $2m = 4(4 - a)$ .

Perpendicularity gives $m(8 - m) = 4a;$ equal areas give $2m = 4(4 - a)$

Solución:

Coloca $X = (0,0),$ $Y = (8,0),$ $W = (0,4),$ $Z = (8,4),$ así que $M = (m, 0)$ y $A = (8, a).$ El ángulo recto significa que $\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA} = 0,$ lo que da $-m(8 - m) + 4a = 0,$ es decir $m(8 - m) = 4a.$ Las áreas iguales $[WXM] = 2m$ y $[WAZ] = 4(4 - a)$ obligan a $m = 8 - 2a,$ así que $a = \tfrac{8 - m}{2}.$ Sustituyendo de vuelta, $(8 - m)(2 - m) = 0.$ Tomando $M \ne Y$ queda $m = 2$ y $a = 3.$ Entonces $[WMA] = 32$ $- [WXM]$ $- [MYA]$ $- [AZW]$ $= 32 - 4 - 9 - 4$ $= 15.$ Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Set $X = (0,0),$ $Y = (8,0),$ $W = (0,4),$ $Z = (8,4),$ so $M = (m, 0)$ and $A = (8, a).$ The right angle means $\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA} = 0,$ which gives $-m(8 - m) + 4a = 0,$ that is $m(8 - m) = 4a.$ Equal areas $[WXM] = 2m$ and $[WAZ] = 4(4 - a)$ force $m = 8 - 2a,$ so $a = \tfrac{8 - m}{2}.$ Substitute back and $(8 - m)(2 - m) = 0.$ Taking $M \ne Y$ leaves $m = 2$ and $a = 3.$ Then $[WMA] = 32$ $- [WXM]$ $- [MYA]$ $- [AZW]$ $= 32 - 4 - 9 - 4$ $= 15.$ Thus, C is the correct answer.

12.

Un grupo de $100$ estudiantes de diferentes países se reúne en una competencia de matemáticas. Cada estudiante habla el mismo número de idiomas y, para cada par de estudiantes $A$ y $B,$ el estudiante $A$ habla algún idioma que el estudiante $B$ no habla, y el estudiante $B$ habla algún idioma que el estudiante $A$ no habla. ¿Cuál es el menor número total posible de idiomas hablados por todos los estudiantes?

A group of $100$ students from different countries meet at a mathematics competition. Each student speaks the same number of languages, and, for every pair of students $A$ and $B,$ student $A$ speaks some language that student $B$ does not speak, and student $B$ speaks some language that student $A$ does not speak. What is the least possible total number of languages spoken by all the students?

$9$

$10$

$12$

$51$

$100$

Conceptos:subconjuntos combinaciones argumento extremal

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Asigna a cada estudiante el conjunto de idiomas que habla; la condición significa que ningún conjunto contiene a otro.

Give each student the set of languages they speak; the condition means no set contains another

Pista grande:

Conjuntos distintos del mismo tamaño nunca se contienen entre sí, así que necesitas $\binom{n}{k} \ge 100$ para algún $k$ .

Equal-size distinct sets never contain one another, so you need $\binom{n}{k} \ge 100$ for some $k$

Solución:

Asigna a cada estudiante el conjunto de idiomas que habla. La condición dice que el conjunto de nadie está contenido en el de otro. Todos hablan el mismo número $k$ de idiomas, y dos conjuntos distintos de $k$ elementos nunca pueden contenerse mutuamente, así que todo lo que necesitamos son $100$ subconjuntos de $k$ elementos distintos de los $n$ idiomas, es decir $\binom{n}{k} \ge 100.$ Con $n = 8$ lo mejor que logramos es $\binom{8}{4} = 70,$ por debajo de $100.$ Pero $\binom{9}{4} = 126 \ge 100.$ Así que $9$ idiomas son a la vez suficientes y necesarios. Por lo tanto, la respuesta es A.

Give each student the set of languages they speak. The condition says no one’s set sits inside another’s. Everyone speaks the same number $k$ of languages, and two distinct $k$ -element sets can never contain each other, so all we need is $100$ different $k$ -subsets of the $n$ languages, i.e. $\binom{n}{k} \ge 100.$ With $n = 8$ the best we can manage is $\binom{8}{4} = 70,$ short of $100.$ But $\binom{9}{4} = 126 \ge 100.$ So $9$ languages are both enough and necessary. Therefore, the answer is A.

13.

Los enteros positivos $x$ e $y$ satisfacen la ecuación $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{1183}.$ ¿Cuál es el valor mínimo posible de $x + y$ ?

Positive integers $x$ and $y$ satisfy the equation $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{1183}.$ What is the minimum possible value of $x + y?$

$585$

$595$

$623$

$700$

$791$

Conceptos:radical factorización en primos optimización

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

$1183 = 7 \cdot 13^2,$ así que $\sqrt{1183} = 13\sqrt{7}$ .

$1183 = 7 \cdot 13^2,$ so $\sqrt{1183} = 13\sqrt{7}$

Pista grande:

Entonces $\sqrt{x} = a\sqrt{7}$ y $\sqrt{y} = b\sqrt{7}$ con $a + b = 13;$ minimiza $x + y = 7(a^2 + b^2)$ .

Then $\sqrt{x} = a\sqrt{7}$ and $\sqrt{y} = b\sqrt{7}$ with $a + b = 13;$ minimize $x + y = 7(a^2 + b^2)$

Solución:

Como $1183 = 7 \cdot 13^2,$ tenemos $\sqrt{1183} = 13\sqrt7.$ Al elevar al cuadrado la ecuación dada, se ve que $\sqrt{xy}$ es racional. Por tanto, $x$ y $y$ tienen la misma parte libre de cuadrados: escribimos $x=da^2$ y $y=db^2,$ donde $d$ es libre de cuadrados y $a,b$ son enteros positivos. Entonces $(a+b)\sqrt d=13\sqrt7,$ así que $d=7$ y $a+b=13.$ Por consiguiente, $x+y=7(a^2+b^2),$ que es mínimo cuando $a$ y $b$ son lo más cercanos posible. Tomando $a=6$ y $b=7$ , obtenemos $x+y=7(36+49)=595.$ Así, B es la respuesta correcta.

Since $1183 = 7 \cdot 13^2,$ we have $\sqrt{1183} = 13\sqrt7.$ Squaring the given equation shows that $\sqrt{xy}$ is rational. Thus $x$ and $y$ have the same squarefree part: write $x=da^2$ and $y=db^2,$ where $d$ is squarefree and $a,b$ are positive integers. Then $(a+b)\sqrt d=13\sqrt7,$ so $d=7$ and $a+b=13.$ Therefore $x+y=7(a^2+b^2),$ which is smallest when $a$ and $b$ are as close as possible. Taking $a=6$ and $b=7$ gives $x+y=7(36+49)=595.$ Thus, B is the correct answer.

14.

Un tablero de dardos es la región $B$ en el plano coordenado que consiste en los puntos $(x, y)$ tales que $|x| + |y| \le 8.$ Un objetivo $T$ es la región donde $(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49.$ Se lanza un dardo a un punto aleatorio en $B.$ La probabilidad de que el dardo caiga en $T$ se puede expresar como $\dfrac{m}{n} \cdot \pi,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

A dartboard is the region $B$ in the coordinate plane consisting of points $(x, y)$ such that $|x| + |y| \le 8.$ A target $T$ is the region where $(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49.$ A dart is thrown and lands at a random point in $B.$ The probability that the dart lands in $T$ can be expressed as $\dfrac{m}{n} \cdot \pi,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n?$

$39$

$71$

$73$

$75$

$135$

Conceptos:probabilidad geométrica corona circular recta tangente

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

$B$ es un cuadrado de diagonal $16,$ y $T$ es el anillo $18 \le x^2 + y^2 \le 32$ .

$B$ is a square of diagonal $16,$ and $T$ is the annulus $18 \le x^2 + y^2 \le 32$

Pista grande:

El radio exterior $\sqrt{32} = 4\sqrt2$ es igual a la distancia del origen a cada lado de $B,$ así que $T$ está completamente dentro de $B$ .

The outer radius $\sqrt{32} = 4\sqrt2$ equals the distance from the origin to each edge of $B,$ so $T$ sits entirely inside $B$

Solución:

$B$ es el cuadrado $|x| + |y| \le 8,$ con área $2 \cdot 8^2 = 128.$ La condición del objetivo $(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49$ se convierte en $|x^2 + y^2 - 25| \le 7,$ es decir $18 \le x^2 + y^2 \le 32,$ un anillo de área $\pi(32 - 18) = 14\pi.$ ¿Cabe dentro de $B$ ? La distancia del origen a un lado $x + y = 8$ es $\tfrac{8}{\sqrt2} = 4\sqrt2 = \sqrt{32},$ exactamente el radio exterior, así que sí, el anillo está dentro del cuadrado. La probabilidad es $\tfrac{14\pi}{128} = \tfrac{7}{64}\pi,$ lo que da $m + n = 71.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

$B$ is the square $|x| + |y| \le 8,$ with area $2 \cdot 8^2 = 128.$ The target condition $(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49$ unpacks to $|x^2 + y^2 - 25| \le 7,$ that is $18 \le x^2 + y^2 \le 32,$ an annulus of area $\pi(32 - 18) = 14\pi.$ Does it fit inside $B?$ The distance from the origin to an edge $x + y = 8$ is $\tfrac{8}{\sqrt2} = 4\sqrt2 = \sqrt{32},$ exactly the outer radius, so yes, the annulus sits inside the square. The probability is $\tfrac{14\pi}{128} = \tfrac{7}{64}\pi,$ giving $m + n = 71.$ Therefore, the answer is B.

15.

Una lista de $9$ números reales consiste en $1,$ $2.2,$ $3.2,$ $5.2,$ $6.2,$ $7,$ así como $x,$ $y,$ $z$ con $x \le y \le z.$ El rango de la lista es $7,$ y la media y la mediana son ambas enteros positivos. ¿Cuántas ternas ordenadas $(x, y, z)$ son posibles?

A list of $9$ real numbers consists of $1,$ $2.2,$ $3.2,$ $5.2,$ $6.2,$ $7,$ as well as $x,$ $y,$ $z$ with $x \le y \le z.$ The range of the list is $7,$ and the mean and median are both positive integers. How many ordered triples $(x, y, z)$ are possible?

$1$

$2$

$3$

$4$

infinitas

infinitely many

Conceptos:media mediana (datos)rango análisis por casos

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Los seis números dados suman $24.8,$ así que $x + y + z$ debe hacer que el total sea un múltiplo de $9$ .

The six given numbers sum to $24.8,$ so $x + y + z$ must make the total a multiple of $9$

Pista grande:

El rango $7$ fija los valores mínimo y máximo; luego exige que el $5$ º número más pequeño sea un entero positivo.

Range $7$ fixes the smallest and largest values; then require the $5$ th smallest number to be a positive integer

Solución:

Los seis números fijos suman $24.8.$ Si la media es el entero $k,$ entonces $x+y+z=9k-24.8.$ Como las entradas fijas ya abarcan de $1$ a $7,$ la condición sobre el rango produce tres casos.

Si $z\le7,$ entonces $x=0.$ Las cotas de $y+z$ obligan a que $k=3$ o $4.$ Para $k=3,$ la mediana es $2.2;$ para $k=4,$ tenemos $y+z=11.2,$ así que $y\ge4.2$ , y la mediana es entera solo cuando $y=5,$ lo que da $(x,y,z)=(0,5,6.2).$

Si $x\ge1,$ entonces $z=8.$ En este caso, $k=4$ da mediana $3.2.$ Para $k=5,$ tenemos $x+y=12.2;$ la mediana es entera solo cuando $x=6,$ lo que da $(6,6.2,8).$

En el caso restante, $0<x<1$ y $z=x+7.$ El total está entre $31.8$ y $41.8,$ así que $k=4$ y $y=4.2-2x.$ La mediana solo puede ser entera cuando $y=4,$ lo que da $(0.1,4,7.1).$ Por tanto, funcionan exactamente $3$ ternas ordenadas. Así, C es la respuesta correcta.

The six fixed numbers total $24.8.$ If the mean is the integer $k,$ then $x+y+z=9k-24.8.$ Because the fixed entries already run from $1$ to $7,$ the range condition gives three cases.

If $z\le7,$ then $x=0.$ The bounds on $y+z$ force $k=3$ or $4.$ For $k=3,$ the median is $2.2;$ for $k=4,$ we have $y+z=11.2,$ so $y\ge4.2$ and the median is integral only when $y=5,$ giving $(x,y,z)=(0,5,6.2).$

If $x\ge1,$ then $z=8.$ Here $k=4$ gives median $3.2.$ For $k=5,$ we have $x+y=12.2;$ the median is integral only when $x=6,$ giving $(6,6.2,8).$

The remaining case has $0<x<1$ and $z=x+7.$ The total lies between $31.8$ and $41.8,$ so $k=4$ and $y=4.2-2x.$ The median can be an integer only when $y=4,$ giving $(0.1,4,7.1).$ Hence exactly $3$ ordered triples work. Thus, C is the correct answer.

16.

A Jerry le gusta jugar con números. Un día, escribió todos los enteros desde $1$ hasta $2024$ en la pizarra. Luego, repetidamente eligió cuatro números en la pizarra, los borró y los reemplazó por su suma o su producto. (Por ejemplo, el primer paso de Jerry pudo haber sido borrar $1,$ $2,$ $3,$ y $5,$ y luego escribir en la pizarra o bien $11,$ su suma, o bien $30,$ su producto.) Después de realizar repetidamente esta operación, Jerry notó que todos los números que quedaban en la pizarra eran impares. ¿Cuál es el número máximo posible de enteros en la pizarra en ese momento?

Jerry likes to play with numbers. One day, he wrote all the integers from $1$ to $2024$ on the whiteboard. Then he repeatedly chose four numbers on the whiteboard, erased them, and replaced them by either their sum or their product. (For example, Jerry’s first step might have been to erase $1,$ $2,$ $3,$ and $5,$ and then write either $11,$ their sum, or $30,$ their product, on the whiteboard.) After repeatedly performing this operation, Jerry noticed that all the remaining numbers on the whiteboard were odd. What is the maximum possible number of integers on the whiteboard at that time?

$1010$

$1011$

$1012$

$1013$

$1014$

Conceptos:paridad invariante optimización

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Cada movimiento convierte $4$ números en $1,$ así que la cantidad disminuye en $3;$ maximizar la cantidad significa minimizar los movimientos.

Each move turns $4$ numbers into $1,$ so the count drops by $3;$ maximizing the count means minimizing the moves

Pista grande:

Hay $1012$ entradas pares, y cualquier movimiento disminuye su número a lo sumo en $3$

There are $1012$ even entries, and any move decreases their number by at most $3$

Solución:

Entre $1, \ldots, 2024$ hay $1012$ números pares y $1012$ impares. Cada operación sustituye $4$ entradas por $1,$ así que el número total de entradas disminuye en $3.$ Si una operación consume $e$ entradas pares, su resultado es impar, y el número de pares disminuye en $e,$ o el resultado es par, y el número de pares disminuye en $e-1.$ En ambos casos, el número de pares disminuye como máximo en $3.$ Por tanto, eliminar las $1012$ entradas pares requiere al menos $\lceil\frac{1012}{3}\rceil=338$ operaciones. Esta cota se alcanza: usamos $337$ sumas formadas por un impar y tres pares, y luego una suma formada por tres impares y el último par. Todos los resultados son impares. Así, el máximo número de entradas restantes es $2024-3\cdot338=1010.$ Por lo tanto, la respuesta es A.

Among $1, \ldots, 2024$ there are $1012$ even numbers and $1012$ odd numbers. Each operation replaces $4$ entries by $1,$ so the total count falls by $3.$ If a move consumes $e$ even entries, its output is either odd, reducing the even count by $e,$ or even, reducing it by $e-1.$ In either case the even count falls by at most $3.$ Therefore eliminating all $1012$ even entries takes at least $\lceil\frac{1012}{3}\rceil=338$ moves. This is achievable: use $337$ sums containing one odd and three evens, then one sum containing three odds and the final even. Every output is odd. Thus the maximum remaining count is $2024-3\cdot338=1010.$ Therefore, the answer is A.

17.

En una carrera entre $5$ caracoles, hay a lo sumo un empate, pero ese empate puede involucrar cualquier número de caracoles. Por ejemplo, el resultado de la carrera podría ser que Dazzler es primero; Abby, Cyrus y Elroy empatan en el segundo lugar, y Bruna es quinta. ¿Cuántos resultados diferentes de la carrera son posibles?

In a race among $5$ snails, there is at most one tie, but that tie can involve any number of snails. For example, the result of the race might be that Dazzler is first; Abby, Cyrus, and Elroy are tied for second; and Bruna is fifth. How many different results of the race are possible?

$180$

$361$

$420$

$431$

$720$

Conceptos:permutaciones combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Cuenta por separado los resultados sin empate de los resultados con exactamente un grupo empatado.

Count results with no tie separately from results with exactly one tied group

Pista grande:

Para un grupo empatado de $k$ caracoles, elígelos de $\binom{5}{k}$ maneras y ordena los $6 - k$ bloques resultantes de $(6-k)!$ maneras.

For a tied group of $k$ snails, choose them in $\binom{5}{k}$ ways and order the $6 - k$ resulting blocks in $(6-k)!$ ways

Solución:

Si nadie empata, los $5$ caracoles terminan en $5! = 120$ órdenes. Ahora permite exactamente un grupo empatado de tamaño $k$ con $2 \le k \le 5.$ Elige el grupo de $\binom{5}{k}$ maneras, luego trátalo como un bloque, dejando $6 - k$ bloques para ordenar de $(6 - k)!$ maneras. Sumando sobre $k:$ $\binom{5}{2}4!$ $+ \binom{5}{3}3!$ $+ \binom{5}{4}2!$ $+ \binom{5}{5}1!$ $= 240 + 60 + 10 + 1$ $= 311.$ Suma el conteo sin empate: $120 + 311 = 431.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

If nobody ties, the $5$ snails finish in $5! = 120$ orders. Now allow exactly one tied group of size $k$ with $2 \le k \le 5.$ Choose the group in $\binom{5}{k}$ ways, then treat it as one block, leaving $6 - k$ blocks to arrange in $(6 - k)!$ ways. Summing over $k:$ $\binom{5}{2}4!$ $+ \binom{5}{3}3!$ $+ \binom{5}{4}2!$ $+ \binom{5}{5}1!$ $= 240 + 60 + 10 + 1$ $= 311.$ Add the no-tie count: $120 + 311 = 431.$ Thus, D is the correct answer.

18.

¿Cuántos residuos diferentes pueden resultar cuando la $100$ ª potencia de un entero se divide entre $125$ ?

How many different remainders can result when the $100$ th power of an integer is divided by $125?$

$1$

$2$

$5$

$25$

$125$

Conceptos:Función φ de Euler exponenciación modular análisis por casos

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

$125 = 5^3$ y $\varphi(125) = 100;$ divide en $n$ coprimo con $5$ y $n$ divisible entre $5$ .

$125 = 5^3$ and $\varphi(125) = 100;$ split into $n$ coprime to $5$ and $n$ divisible by $5$

Pista grande:

Si $\gcd(n, 5) = 1,$ entonces $n^{100} \equiv 1;$ si $n$ es divisible por $5,$ entonces $n^{100}$ es divisible por $5^3$ .

If $\gcd(n, 5) = 1,$ then $n^{100} \equiv 1;$ if $n$ is divisible by $5,$ then $n^{100}$ is divisible by $5^3$

Solución:

Aquí $125 = 5^3$ y $\varphi(125) = 100.$ Si $\gcd(n, 5) = 1,$ el teorema de Euler da $n^{100} \equiv 1 \pmod{125}.$ Y si $n$ es divisible por $5,$ entonces $n^{100}$ lleva un factor de $5^{100},$ por tanto de $125,$ así que $n^{100} \equiv 0 \pmod{125}.$ Eso deja solo dos residuos posibles, $0$ y $1.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

Here $125 = 5^3$ and $\varphi(125) = 100.$ If $\gcd(n, 5) = 1,$ Euler’s theorem gives $n^{100} \equiv 1 \pmod{125}.$ And if $n$ is divisible by $5,$ then $n^{100}$ carries a factor of $5^{100},$ hence of $125,$ so $n^{100} \equiv 0 \pmod{125}.$ That leaves only two possible remainders, $0$ and $1.$ Therefore, the answer is B.

19.

En la siguiente tabla, cada signo de interrogación debe reemplazarse por “Posible” o “No posible” para indicar si una recta no vertical con la pendiente dada puede contener el número dado de puntos reticulares (puntos cuyas dos coordenadas son enteras). ¿Cuántas de las $12$ casillas serán “Posible”?

In the following table, each question mark is to be replaced by “Possible” or “Not Possible” to indicate whether a nonvertical line with the given slope can contain the given number of lattice points (points both of whose coordinates are integers). How many of the $12$ entries will be “Possible”?

$4$

$5$

$6$

$7$

$9$

Conceptos:punto reticular pendiente análisis por casos

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Dos puntos reticulares en una recta obligan a que su pendiente sea racional; así que una pendiente irracional permite a lo sumo un punto reticular.

Two lattice points on a line force its slope to be rational; so an irrational slope allows at most one lattice point

Pista grande:

Una recta de pendiente racional que pasa por un punto reticular pasa por infinitos, así que tiene o bien $0$ o bien infinitos.

A rational-slope line through one lattice point passes through infinitely many, so it has either $0$ or infinitely many

Solución:

Dos puntos reticulares cualesquiera dan una pendiente racional. Así que una recta con pendiente irracional contiene a lo sumo un punto reticular: puede tener $0$ (digamos $y = \sqrt2\,x + \tfrac12$ ) o exactamente $1$ (digamos $y = \sqrt2\,x$ ), nunca dos. Una recta con pendiente racional (incluido el cero) que pasa por un punto reticular $(x_0, y_0)$ también pasa por $(x_0 + q, y_0 + p)$ para su pendiente reducida $\tfrac{p}{q},$ así que toca infinitos; tal recta tiene o bien $0$ puntos reticulares (desplázala con una ordenada al origen irracional) o más de dos, nunca exactamente uno o dos. Así que cada fila da exactamente dos casillas “Posible”. Para pendiente racional cero y no cero esas son las columnas “cero” y “más de dos”; para pendiente irracional, las columnas “cero” y “exactamente uno”. Eso es $6$ en total. Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Any two lattice points give a rational slope. So a line with irrational slope holds at most one lattice point: it can have $0$ (say $y = \sqrt2\,x + \tfrac12$ ) or exactly $1$ (say $y = \sqrt2\,x$ ), never two. A line with rational slope (zero included) through a lattice point $(x_0, y_0)$ also passes through $(x_0 + q, y_0 + p)$ for its reduced slope $\tfrac{p}{q},$ so it hits infinitely many; such a line has either $0$ lattice points (shift it by an irrational intercept) or more than two, never exactly one or two. So each row gives exactly two “Possible” entries. For zero and nonzero rational slope those are the “zero” and “more than two” columns; for irrational slope, the “zero” and “exactly one” columns. That’s $6$ in all. Thus, C is the correct answer.

20.

Tres pares de zapatos diferentes se colocan en una fila de modo que ningún zapato izquierdo esté junto a un zapato derecho de un par diferente. ¿De cuántas maneras se pueden alinear estos seis zapatos?

Three different pairs of shoes are placed in a row so that no left shoe is next to a right shoe from a different pair. In how many ways can these six shoes be lined up?

$60$

$72$

$90$

$108$

$120$

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

La regla dice: dondequiera que un zapato izquierdo toque a un zapato derecho, deben ser compañeros del mismo par.

The rule says: wherever a left shoe touches a right shoe, they must be mates from the same pair

Pista grande:

Analiza según el patrón izquierda/derecha de los seis lugares; cada lugar donde el lado cambia fija un par.

Case on the left/right pattern of the six spots; each place where the side switches pins down one pair

Solución:

Siempre que una $L$ se encuentra con una $R$ en el patrón de lados, esos dos zapatos deben formar pareja. Por tanto, un bloque interior no puede tener longitud $1:$ su único zapato tendría que emparejarse con ambos vecinos. Con tres $L$ y tres $R$ , los únicos patrones posibles son $LLLRRR,$ $RRRLLL,$ $LLRRRL,$ $LRRLLR,$ $LRRRLL,$ $RLLLRR,$ $RLLRRL,$ y $RRLLLR.$ Para cualquiera de los dos patrones con un solo cambio, elegimos el par en el cambio y ordenamos los zapatos restantes, obteniendo $3\cdot2\cdot2=12$ arreglos. Cada uno de los otros seis patrones tiene $6$ asignaciones de los tres pares a sus cambios. El total es $2\cdot12+6\cdot6=60.$ Por lo tanto, la respuesta es A.

Wherever an $L$ meets an $R$ in the side pattern, those two shoes must be mates. Thus an interior run cannot have length $1:$ its lone shoe would have to be the mate of both neighbors. With three $L$ ’s and three $R$ ’s, the only possible patterns are $LLLRRR,$ $RRRLLL,$ $LLRRRL,$ $LRRLLR,$ $LRRRLL,$ $RLLLRR,$ $RLLRRL,$ and $RRLLLR.$ For either one-switch pattern, choose the pair at the switch and order the remaining shoes, giving $3\cdot2\cdot2=12$ arrangements. Each of the other six patterns has $6$ assignments of the three pairs to its switches. Hence the total is $2\cdot12+6\cdot6=60.$ Therefore, the answer is A.

21.

Dos tubos rectos (cilindros circulares), con radios $1$ y $\tfrac14,$ yacen paralelos y en contacto sobre un suelo plano. La figura de abajo muestra una vista frontal. ¿Cuál es la suma de los radios posibles de un tercer tubo paralelo que yace sobre el mismo suelo y en contacto con ambos?

Two straight pipes (circular cylinders), with radii $1$ and $\tfrac14,$ lie parallel and in contact on a flat floor. The figure below shows a head-on view. What is the sum of the possible radii of a third parallel pipe lying on the same floor and in contact with both?

$\dfrac{1}{9}$

$1$

$\dfrac{10}{9}$

$\dfrac{11}{9}$

$\dfrac{19}{9}$

Conceptos:circunferencias tangentes Teorema de Pitágoras análisis por casos

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Para dos círculos de radios $R$ y $r$ apoyados en una recta y tocándose entre sí, sus puntos de contacto con el suelo están separados $2\sqrt{Rr}$ .

For two circles of radii $R$ and $r$ resting on a line and touching each other, their floor contact points are $2\sqrt{Rr}$ apart

Pista grande:

El punto de contacto del nuevo tubo está a $2\sqrt{r}$ del tubo grande y a $\sqrt{r}$ del tubo pequeño; puede estar entre ellos o afuera.

The new pipe’s contact point is $2\sqrt{r}$ from the big pipe’s and $\sqrt{r}$ from the small pipe’s; it can sit between them or outside

Solución:

Dos círculos de radios $R$ y $r$ apoyados en el suelo y tocándose entre sí tienen puntos de contacto separados por una distancia horizontal de $2\sqrt{Rr}$ . Así que los tubos de radio $1$ y radio $\tfrac14$ tocan el suelo separados $2\sqrt{1 \cdot \tfrac14} = 1$ . Un tercer tubo de radio $r$ está a $2\sqrt{r}$ del punto de contacto del tubo grande y a $2\sqrt{\tfrac14 r} = \sqrt{r}$ del pequeño. Acomodado entre ellos, $2\sqrt r + \sqrt r = 1,$ así que $\sqrt r = \tfrac13$ y $r = \tfrac19.$ Ubicado más allá del tubo pequeño, $2\sqrt r - \sqrt r = 1,$ así que $r = 1.$ (Más allá del tubo grande no puede ocurrir.) La suma es $\tfrac19 + 1 = \tfrac{10}{9}.$ Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Two circles of radii $R$ and $r$ resting on the floor and touching each other have contact points a horizontal distance $2\sqrt{Rr}$ apart. So the radius- $1$ and radius- $\tfrac14$ pipes touch the floor $2\sqrt{1 \cdot \tfrac14} = 1$ apart. A third pipe of radius $r$ sits $2\sqrt{r}$ from the big pipe’s contact point and $2\sqrt{\tfrac14 r} = \sqrt{r}$ from the small pipe’s. Nestled between them, $2\sqrt r + \sqrt r = 1,$ so $\sqrt r = \tfrac13$ and $r = \tfrac19.$ Sitting past the small pipe, $2\sqrt r - \sqrt r = 1,$ so $r = 1.$ (Past the big pipe can’t happen.) The sum is $\tfrac19 + 1 = \tfrac{10}{9}.$ Thus, C is the correct answer.

22.

$16$ personas serán divididas en $4$ comités indistinguibles de $4$ personas. Cada comité tendrá un presidente y un secretario. El número de maneras diferentes de hacer estas asignaciones se puede escribir como $3^r M,$ donde $r$ y $M$ son enteros positivos y $M$ no es divisible entre $3.$ ¿Cuánto vale $r$ ?

A group of $16$ people will be partitioned into $4$ indistinguishable $4$ -person committees. Each committee will have one chairperson and one secretary. The number of different ways to make these assignments can be written as $3^r M,$ where $r$ and $M$ are positive integers and $M$ is not divisible by $3.$ What is $r?$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:combinaciones Fórmula de Legendre factorización en primos

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

El número de maneras es $\dfrac{16!}{(4!)^4 \cdot 4!} \cdot (4 \cdot 3)^4,$ el conteo de particiones por las elecciones de presidente/secretario por comité.

The number of ways is $\dfrac{16!}{(4!)^4 \cdot 4!} \cdot (4 \cdot 3)^4,$ the partition count times chair/secretary choices per committee

Pista grande:

Cuenta los factores de $3$ en cada parte usando la fórmula de Legendre sobre $16!$ y $4!$ .

Count factors of $3$ in each piece using Legendre’s formula on $16!$ and $4!$

Solución:

Divide $16$ personas en $4$ grupos indistinguibles de $4$ de $\dfrac{16!}{(4!)^4 \, 4!}$ maneras, luego cada comité elige un presidente y un secretario de $4 \cdot 3 = 12$ maneras, un factor de $12^4.$ Ahora cuenta los factores de $3.$ En $16!$ hay $\lfloor \frac{16}{3} \rfloor + \lfloor \frac{16}{9} \rfloor = 6;$ el denominador $(4!)^4 \, 4!$ aporta $4 \cdot 1 + 1 = 5;$ y $12^4$ aporta $4.$ El exponente es $6 - 5 + 4 = 5,$ así que $r = 5.$ Por lo tanto, la respuesta es A.

Split $16$ people into $4$ indistinguishable groups of $4$ in $\dfrac{16!}{(4!)^4 \, 4!}$ ways, then each committee picks a chairperson and a secretary in $4 \cdot 3 = 12$ ways, a factor of $12^4.$ Now count factors of $3.$ In $16!$ there are $\lfloor \frac{16}{3} \rfloor + \lfloor \frac{16}{9} \rfloor = 6;$ the denominator $(4!)^4 \, 4!$ contributes $4 \cdot 1 + 1 = 5;$ and $12^4$ contributes $4.$ The exponent is $6 - 5 + 4 = 5,$ so $r = 5.$ Therefore, the answer is A.

23.

Los números de Fibonacci se definen por $F_1 = 1,$ $F_2 = 1,$ y $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ para $n \ge 3.$ ¿Cuánto vale

$\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \cdots + \frac{F_{20}}{F_{10}}?$

The Fibonacci numbers are defined by $F_1 = 1,$ $F_2 = 1,$ and $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ for $n \ge 3.$ What is

$\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \cdots + \frac{F_{20}}{F_{10}}?$

$318$

$319$

$320$

$321$

$322$

Conceptos:Fibonacci sumatoria

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Cada término es $\dfrac{F_{2k}}{F_k};$ usa la identidad $F_{2k} = F_k L_k,$ donde $L_k$ es el número de Lucas.

Each term is $\dfrac{F_{2k}}{F_k};$ use the identity $F_{2k} = F_k L_k,$ where $L_k$ is the Lucas number

Pista grande:

La suma se convierte en $L_1 + L_2 + \cdots + L_{10};$ las sumas de números de Lucas satisfacen $\sum_{k=1}^{n} L_k = L_{n+2} - 3$ .

The sum becomes $L_1 + L_2 + \cdots + L_{10};$ sums of Lucas numbers satisfy $\sum_{k=1}^{n} L_k = L_{n+2} - 3$

Solución:

Usa $F_{2k} = F_k L_k,$ así que cada término $\dfrac{F_{2k}}{F_k} = L_k,$ el $k$ º número de Lucas. Eso reduce la suma a $\sum_{k=1}^{10} L_k.$ Con $L_1 = 1,$ $L_2 = 3,$ $L_3 = 4,$ $\ldots,$ $L_{10} = 123,$ la identidad $\sum_{k=1}^{n} L_k = L_{n+2} - 3$ da $L_{12} - 3 = 322 - 3 = 319.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Use $F_{2k} = F_k L_k,$ so each term $\dfrac{F_{2k}}{F_k} = L_k,$ the $k$ th Lucas number. That collapses the sum to $\sum_{k=1}^{10} L_k.$ With $L_1 = 1,$ $L_2 = 3,$ $L_3 = 4,$ $\ldots,$ $L_{10} = 123,$ the identity $\sum_{k=1}^{n} L_k = L_{n+2} - 3$ gives $L_{12} - 3 = 322 - 3 = 319.$ Thus, B is the correct answer.

24.

Sea

$\begin{aligned} P(m) &= \frac{m}{2} + \frac{m^2}{4} \\ &\quad {}+ \frac{m^4}{8} + \frac{m^8}{8}. \end{aligned}$

¿Cuántos de los valores $P(2022),$ $P(2023),$ $P(2024),$ y $P(2025)$ son enteros?

Let

$\begin{aligned} P(m) &= \frac{m}{2} + \frac{m^2}{4} \\ &\quad {}+ \frac{m^4}{8} + \frac{m^8}{8}. \end{aligned}$

How many of the values of $P(2022),$ $P(2023),$ $P(2024),$ and $P(2025)$ are integers?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:aritmética modular paridad análisis por casos

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Sobre el denominador común $8,$ $P(m) = \dfrac{4m + 2m^2 + m^4 + m^8}{8}$ .

Over the common denominator $8,$ $P(m) = \dfrac{4m + 2m^2 + m^4 + m^8}{8}$

Pista grande:

Revisa $4m + 2m^2 + m^4 + m^8 \pmod 8$ por separado para $m$ par e impar.

Check $4m + 2m^2 + m^4 + m^8 \pmod 8$ separately for even and odd $m$

Solución:

Pon todo sobre $8:$ $P(m) = \dfrac{m^8 + m^4 + 2m^2 + 4m}{8}.$ Si $m$ es par, todo término de arriba es divisible entre $8.$ Si $m$ es impar, entonces $m^2 \equiv m^4 \equiv m^8 \equiv 1$ y $4m \equiv 4 \pmod 8,$ así que el numerador es $1 + 1 + 2 + 4 = 8 \equiv 0 \pmod 8.$ De cualquier forma $P(m)$ es un entero, así que los $4$ valores son enteros. Por lo tanto, la respuesta es E.

Put everything over $8:$ $P(m) = \dfrac{m^8 + m^4 + 2m^2 + 4m}{8}.$ If $m$ is even, every term up top is divisible by $8.$ If $m$ is odd, then $m^2 \equiv m^4 \equiv m^8 \equiv 1$ and $4m \equiv 4 \pmod 8,$ so the numerator is $1 + 1 + 2 + 4 = 8 \equiv 0 \pmod 8.$ Either way $P(m)$ is an integer, so all $4$ values are integers. Therefore, the answer is E.

25.

Cada uno de $27$ ladrillos (prismas rectangulares rectos) tiene dimensiones $a \times b \times c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos primos entre sí dos a dos. Estos ladrillos se disponen para formar un bloque $3 \times 3 \times 3$ , como se muestra a la izquierda abajo. Se introduce un $28$ º ladrillo con las mismas dimensiones, y estos ladrillos se reconfiguran en un bloque $2 \times 2 \times 7$ , mostrado a la derecha. El nuevo bloque es $1$ unidad más alto, $1$ unidad más ancho y $1$ unidad más profundo que el viejo. ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

Each of $27$ bricks (right rectangular prisms) has dimensions $a \times b \times c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are pairwise relatively prime positive integers. These bricks are arranged to form a $3 \times 3 \times 3$ block, as shown on the left below. A $28$ th brick with the same dimensions is introduced, and these bricks are reconfigured into a $2 \times 2 \times 7$ block, shown on the right. The new block is $1$ unit taller, $1$ unit wider, and $1$ unit deeper than the old one. What is $a + b + c?$

$88$

$89$

$90$

$91$

$92$

Conceptos:Ecuación diofántica prisma rectangular análisis por casos

Nivel de dificultad: 2470

Pista pequeña:

El bloque viejo tiene longitudes de lado $3a, 3b, 3c;$ el bloque nuevo tiene longitudes de lado $2u, 2v, 7w$ para alguna asignación de $a, b, c$ a $u, v, w$ .

The old block has side lengths $3a, 3b, 3c;$ the new block has side lengths $2u, 2v, 7w$ for some assignment of $a, b, c$ to $u, v, w$

Pista grande:

Renombra de modo que los lados nuevos sean $7a,2b,2c;$ ninguno de ellos puede ser igual al lado $3a+1,3b+1,3c+1$ con la misma letra

Relabel so the new side lengths are $7a,2b,2c;$ no one of these can equal $3a+1,3b+1,3c+1$ with the same letter

Solución:

Renombremos las dimensiones de los ladrillos de modo que el bloque nuevo tenga lados $7a,2b,2c.$ Estos deben ser los tres lados antiguos $3a,3b,3c,$ cada uno aumentado en $1.$ Un lado nuevo no puede corresponder al lado antiguo con la misma letra: $7a=3a+1$ no tiene solución entera positiva, mientras que $2b=3b+1$ y $2c=3c+1$ darían longitudes negativas. Por lo tanto, la correspondencia debe ser uno de los dos ciclos de longitud tres. En una orientación, $\begin{aligned} 7a&=3c+1,\\ 2b&=3a+1,\\ 2c&=3b+1. \end{aligned}$ Las dos últimas ecuaciones dan $b=\frac{3a+1}{2}$ y $c=\frac{9a+5}{4}.$ Al sustituir en la primera se obtiene $28a=27a+19,$ de modo que $(a,b,c)=(19,29,44).$ El otro ciclo solo intercambia $b$ y $c.$ Estas longitudes son coprimas dos a dos, y $a+b+c=19+29+44=92.$ Así, E es la respuesta correcta.

Relabel the brick dimensions so the new block has sides $7a,2b,2c.$ These must be the three old side lengths $3a,3b,3c,$ each increased by $1.$ A new side cannot match the old side with the same letter: $7a=3a+1$ has no positive integer solution, while $2b=3b+1$ and $2c=3c+1$ would give negative lengths. Therefore the matching must be one of the two three-cycles. In one orientation, $\begin{aligned} 7a&=3c+1,\\ 2b&=3a+1,\\ 2c&=3b+1. \end{aligned}$ The last two equations give $b=\frac{3a+1}{2}$ and $c=\frac{9a+5}{4}.$ Substituting into the first gives $28a=27a+19,$ so $(a,b,c)=(19,29,44).$ The other cycle merely exchanges $b$ and $c.$ These lengths are pairwise relatively prime, and $a+b+c=19+29+44=92.$ Thus, E is the correct answer.