Question

Se lanza un dado estándar de seis caras y $P$ es el producto de los cinco números visibles. ¿Cuál es el mayor número que con certeza divide a $P$ ?

A standard six-sided die is rolled, and $P$ is the product of the five numbers that are visible. What is the largest number that is certain to divide $P?$

$6$

$12$

$24$

$144$

$720$

Solución:

Como $6! = 720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5,$ el producto visible usa solo los primos $2, 3,$ y $5.$

Ocultar $4$ deja la menor cantidad de factores $2$ , a saber $2^2.$ Ocultar $3$ o $6$ deja la menor cantidad de factores $3$ , a saber uno. Ocultar $5$ no deja ningún factor de $5.$

Por lo tanto $P$ siempre es divisible por $2^2 \cdot 3 = 12,$ pero no necesariamente por un número mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $6! = 720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5,$ the visible product uses only the primes $2, 3,$ and $5.$

Hiding $4$ leaves the fewest $2$ 's, namely $2^2.$ Hiding $3$ or $6$ leaves the fewest $3$ 's, namely one. Hiding $5$ leaves no factor of $5.$

Therefore $P$ is always divisible by $2^2 \cdot 3 = 12,$ but not necessarily by any larger number.

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 10B Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años