2004 AMC 10B — Problemas y examen en línea cronometrado

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1:15:00

1.

Cada fila del Misty Moon Amphitheater tiene $33$ asientos. Las filas $12$ a la $22$ están reservadas para un club juvenil. ¿Cuántos asientos están reservados para este club?

Each row of the Misty Moon Amphitheater has $33$ seats. Rows $12$ through $22$ are reserved for a youth club. How many seats are reserved for this club?

$297$

$330$

$363$

$396$

$726$

Respuesta: C

Conceptos:conteo de enteros en un rango conteo básico

Nivel de dificultad: 770

Solución:

Las filas $12$ a la $22$ , ambas incluidas, forman $22 - 12 + 1 = 11$ filas.

Cada fila tiene $33$ asientos, así que el total es $33 \times 11 = 363.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Rows $12$ through $22$ inclusive make up $22 - 12 + 1 = 11$ rows.

Each row has $33$ seats, so the total is $33 \times 11 = 363.$

Thus, the correct answer is C.

2.

¿Cuántos enteros positivos de dos dígitos tienen al menos un $7$ como dígito?

How many two-digit positive integers have at least one $7$ as a digit?

$10$

$18$

$19$

$20$

$30$

Respuesta: B

Conceptos:dígitos inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 920

Solución:

Los números $70$ a $79$ dan $10$ con un $7$ en las decenas.

Los números $17, 27, \ldots, 97$ dan $9$ con un $7$ en las unidades.

Como $77$ se cuenta dos veces, el total es $10 + 9 - 1 = 18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The numbers $70$ through $79$ give $10$ with a $7$ in the tens place.

The numbers $17, 27, \ldots, 97$ give $9$ with a $7$ in the units place.

Since $77$ is counted twice, the total is $10 + 9 - 1 = 18.$

Thus, the correct answer is B.

3.

En cada entrenamiento de baloncesto de la semana pasada, Jenny encestó el doble de tiros libres que en el entrenamiento anterior. En su quinto entrenamiento encestó $48$ tiros libres. ¿Cuántos tiros libres encestó en el primer entrenamiento?

At each basketball practice last week, Jenny made twice as many free throws as she made at the previous practice. At her fifth practice she made $48$ free throws. How many free throws did she make at the first practice?

$3$

$6$

$9$

$12$

$15$

Respuesta: A

Conceptos:sucesión geométrica trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 820

Solución:

Trabajando hacia atrás desde el quinto entrenamiento, las cantidades son $48, 24, 12, 6,$ y $3$ en el cuarto, tercero, segundo y primer entrenamiento.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Working backward from the fifth practice, the counts are $48, 24, 12, 6,$ and $3$ at the fourth, third, second, and first practices.

Thus, the correct answer is A.

4.

Se lanza un dado estándar de seis caras y $P$ es el producto de los cinco números visibles. ¿Cuál es el mayor número que con certeza divide a $P$ ?

A standard six-sided die is rolled, and $P$ is the product of the five numbers that are visible. What is the largest number that is certain to divide $P?$

$6$

$12$

$24$

$144$

$720$

Respuesta: B

Conceptos:factorización en primos divisibilidad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1190

Solución:

Como $6! = 720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5,$ el producto visible usa solo los primos $2, 3,$ y $5.$

Ocultar $4$ deja la menor cantidad de factores $2$ , a saber $2^2.$ Ocultar $3$ o $6$ deja la menor cantidad de factores $3$ , a saber uno. Ocultar $5$ no deja ningún factor de $5.$

Por lo tanto $P$ siempre es divisible por $2^2 \cdot 3 = 12,$ pero no necesariamente por un número mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $6! = 720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5,$ the visible product uses only the primes $2, 3,$ and $5.$

Hiding $4$ leaves the fewest $2$ 's, namely $2^2.$ Hiding $3$ or $6$ leaves the fewest $3$ 's, namely one. Hiding $5$ leaves no factor of $5.$

Therefore $P$ is always divisible by $2^2 \cdot 3 = 12,$ but not necessarily by any larger number.

Thus, the correct answer is B.

5.

En la expresión $c \cdot a^b - d,$ los valores de $a, b, c,$ y $d$ son $0, 1, 2,$ y $3,$ aunque no necesariamente en ese orden. ¿Cuál es el máximo valor posible del resultado?

In the expression $c \cdot a^b - d,$ the values of $a, b, c,$ and $d$ are $0, 1, 2,$ and $3,$ although not necessarily in that order. What is the maximum possible value of the result?

$5$

$6$

$8$

$9$

$10$

Respuesta: D

Conceptos:exponente optimización análisis por casos

Nivel de dificultad: 1120

Solución:

Al tomar $d = 0$ se elimina la resta, así que maximizamos $c \cdot a^b$ usando $1, 2, 3.$

Tomando $c = 1,$ $a = 3,$ $b = 2$ se obtiene $3^2 = 9.$ La alternativa $2^3 = 8$ es menor, y cualquier asignación con $c \gt 1$ fuerza una potencia menor. El máximo es $9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Setting $d = 0$ removes the subtraction, so we maximize $c \cdot a^b$ using $1, 2, 3.$

Taking $c = 1,$ $a = 3,$ $b = 2$ gives $3^2 = 9.$ The alternative $2^3 = 8$ is smaller, and any assignment with $c \gt 1$ forces a smaller power. The maximum is $9.$

Thus, the correct answer is D.

6.

¿Cuál de los siguientes números es un cuadrado perfecto?

Which of the following numbers is a perfect square?

$98! \cdot 99!$

$98! \cdot 100!$

$99! \cdot 100!$

$99! \cdot 101!$

$100! \cdot 101!$

Respuesta: C

Conceptos:factorial cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1290

Solución:

Para $m \lt n,$ tenemos $m! \cdot n!$ $= (m!)^2 \cdot (m+1)(m+2)\cdots n,$ que es un cuadrado perfecto precisamente cuando $(m+1)\cdots n$ es un cuadrado perfecto.

Para las cinco opciones este factor sobrante es $99,$ $99 \cdot 100,$ $100,$ $100 \cdot 101,$ y $101.$ Solo $100 = 10^2$ es un cuadrado perfecto.

Por lo tanto $99! \cdot 100! = (99! \cdot 10)^2$ es el cuadrado perfecto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For $m \lt n,$ we have $m! \cdot n!$ $= (m!)^2 \cdot (m+1)(m+2)\cdots n,$ which is a perfect square precisely when $(m+1)\cdots n$ is a perfect square.

For the five choices this leftover factor is $99,$ $99 \cdot 100,$ $100,$ $100 \cdot 101,$ and $101.$ Only $100 = 10^2$ is a perfect square.

Therefore $99! \cdot 100! = (99! \cdot 10)^2$ is the perfect square.

Thus, the correct answer is C.

7.

En un viaje de Estados Unidos a Canadá, Isabella llevó $d$ dólares estadounidenses. En la frontera los cambió todos, recibiendo $10$ dólares canadienses por cada $7$ dólares estadounidenses. Después de gastar $60$ dólares canadienses, le quedaron $d$ dólares canadienses. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $d$ ?

On a trip from the United States to Canada, Isabella took $d$ U.S. dollars. At the border she exchanged them all, receiving $10$ Canadian dollars for every $7$ U.S. dollars. After spending $60$ Canadian dollars, she had $d$ Canadian dollars left. What is the sum of the digits of $d?$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Respuesta: A

Conceptos:ecuación lineal razón y proporción

Nivel de dificultad: 1100

Solución:

Isabella recibió $\dfrac{10}{7}d$ dólares canadienses y gastó $60,$ quedándole $d.$ Así que $\dfrac{10}{7}d - 60 = d.$

Entonces $\dfrac{3}{7}d = 60,$ así que $d = 140.$ La suma de sus dígitos es $1 + 4 + 0 = 5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Isabella received $\dfrac{10}{7}d$ Canadian dollars and spent $60,$ leaving $d.$ So $\dfrac{10}{7}d - 60 = d.$

Then $\dfrac{3}{7}d = 60,$ so $d = 140.$ The sum of its digits is $1 + 4 + 0 = 5.$

Thus, the correct answer is A.

8.

El Minneapolis-St. Paul International Airport está a $8$ millas al suroeste del centro de St. Paul y a $10$ millas al sureste del centro de Minneapolis. ¿Cuál de los siguientes valores es el más cercano al número de millas entre el centro de St. Paul y el centro de Minneapolis?

Minneapolis-St. Paul International Airport is $8$ miles southwest of downtown St. Paul and $10$ miles southeast of downtown Minneapolis. Which of the following is closest to the number of miles between downtown St. Paul and downtown Minneapolis?

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Respuesta: A

Conceptos:Teorema de Pitágoras estimación

Nivel de dificultad: 1030

Solución:

Las dos direcciones dadas son perpendiculares, así que el aeropuerto se ubica en el ángulo recto de un triángulo rectángulo con catetos $8$ y $10.$

La distancia entre los dos centros es $\sqrt{8^2 + 10^2} = \sqrt{164} \approx 12.8,$ que es lo más cercano a $13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The two given directions are perpendicular, so the airport sits at the right angle of a right triangle with legs $8$ and $10.$

The distance between the downtowns is $\sqrt{8^2 + 10^2} = \sqrt{164} \approx 12.8,$ which is closest to $13.$

Thus, the correct answer is A.

9.

Un cuadrado tiene lados de longitud $10,$ y un círculo centrado en uno de sus vértices tiene radio $10.$ ¿Cuál es el área de la unión de las regiones encerradas por el cuadrado y el círculo?

A square has sides of length $10,$ and a circle centered at one of its vertices has radius $10.$ What is the area of the union of the regions enclosed by the square and the circle?

$200 + 25\pi$

$100 + 75\pi$

$75 + 100\pi$

$100 + 100\pi$

$100 + 125\pi$

Respuesta: B

Conceptos:área del círculo sector circular inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

El cuadrado tiene área $10^2 = 100$ y el círculo tiene área $\pi(10)^2 = 100\pi.$

Como el círculo está centrado en un vértice del cuadrado, exactamente un cuarto del círculo, de área $25\pi,$ queda dentro del cuadrado.

La unión tiene área $100 + 100\pi - 25\pi = 100 + 75\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The square has area $10^2 = 100$ and the circle has area $\pi(10)^2 = 100\pi.$

Since the circle is centered at a vertex of the square, exactly one quarter of the circle, area $25\pi,$ lies inside the square.

The union has area $100 + 100\pi - 25\pi = 100 + 75\pi.$

Thus, the correct answer is B.

10.

Un tendero hace una exhibición de latas en la que la fila superior tiene una lata y cada fila inferior tiene dos latas más que la fila de encima. Si la exhibición contiene $100$ latas, ¿cuántas filas tiene?

A grocer makes a display of cans in which the top row has one can and each lower row has two more cans than the row above it. If the display contains $100$ cans, how many rows does it contain?

$5$

$8$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: D

Conceptos:suma de los primeros n números impares

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

Las filas contienen $1, 3, 5, \ldots$ latas, y la suma de los primeros $n$ números impares es $n^2.$

Al plantear $n^2 = 100$ se obtiene $n = 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The rows hold $1, 3, 5, \ldots$ cans, and the sum of the first $n$ odd numbers is $n^2.$

Setting $n^2 = 100$ gives $n = 10.$

Thus, the correct answer is D.

11.

Dos dados de ocho caras tienen cada uno las caras numeradas del $1$ al $8.$ Al lanzar los dados, cada cara tiene la misma probabilidad de quedar arriba. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de los dos números de arriba sea mayor que su suma?

Two eight-sided dice each have faces numbered $1$ through $8.$ When the dice are rolled, each face has an equal probability of appearing on the top. What is the probability that the product of the two top numbers is greater than their sum?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{47}{64}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{55}{64}$

$\dfrac{7}{8}$

Respuesta: C

Conceptos:dados (probabilidad)Truco de factorización favorito de Simon conteo complementario

Nivel de dificultad: 1430

Solución:

Hay $8 \cdot 8 = 64$ pares ordenados. La desigualdad $mn \gt m + n$ equivale a $(m-1)(n-1) \gt 1.$

Esto falla solo cuando $m = 1,$ $n = 1,$ o $m = n = 2,$ lo que corresponde a $8 + 8 - 1 + 1 = 16$ pares.

La probabilidad es $\dfrac{64 - 16}{64} = \dfrac{48}{64} = \dfrac{3}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

There are $8 \cdot 8 = 64$ ordered pairs. The inequality $mn \gt m + n$ is equivalent to $(m-1)(n-1) \gt 1.$

This fails only when $m = 1,$ $n = 1,$ or $m = n = 2,$ which account for $8 + 8 - 1 + 1 = 16$ pairs.

The probability is $\dfrac{64 - 16}{64} = \dfrac{48}{64} = \dfrac{3}{4}.$

Thus, the correct answer is C.

12.

Un anillo es la región entre dos círculos concéntricos. Los círculos concéntricos de la figura tienen radios $b$ y $c,$ con $b \gt c.$ Sea $\overline{OX}$ un radio del círculo mayor, sea $\overline{XZ}$ tangente al círculo menor en $Z,$ y sea $\overline{OY}$ el radio del círculo mayor que contiene a $Z.$ Sean $a = XZ,$ $d = YZ,$ y $e = XY.$ ¿Cuál es el área del anillo?

An annulus is the region between two concentric circles. The concentric circles in the figure have radii $b$ and $c,$ with $b \gt c.$ Let $\overline{OX}$ be a radius of the larger circle, let $\overline{XZ}$ be tangent to the smaller circle at $Z,$ and let $\overline{OY}$ be the radius of the larger circle that contains $Z.$ Let $a = XZ,$ $d = YZ,$ and $e = XY.$ What is the area of the annulus?

$\pi a^2$

$\pi b^2$

$\pi c^2$

$\pi d^2$

$\pi e^2$

Respuesta: A

Conceptos:corona circular área del círculo recta tangente Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1390

Solución:

El anillo es la diferencia de las dos áreas circulares, $\pi b^2 - \pi c^2.$

Como $\overline{XZ}$ es tangente al círculo pequeño en $Z,$ es perpendicular al radio $\overline{OZ}.$ En el triángulo rectángulo $OZX$ con $OX = b,$ $OZ = c,$ y $XZ = a,$ obtenemos $b^2 - c^2 = a^2.$

Por lo tanto el área del anillo es $\pi a^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The annulus is the difference of the two circular areas, $\pi b^2 - \pi c^2.$

Because $\overline{XZ}$ is tangent to the small circle at $Z,$ it is perpendicular to the radius $\overline{OZ}.$ In right triangle $OZX$ with $OX = b,$ $OZ = c,$ and $XZ = a,$ we get $b^2 - c^2 = a^2.$

Therefore the area of the annulus is $\pi a^2.$

Thus, the correct answer is A.

13.

En Estados Unidos, las monedas tienen los siguientes grosores: el penny, $1.55$ mm; el nickel, $1.95$ mm; el dime, $1.35$ mm; el quarter, $1.75$ mm. Si una pila de estas monedas mide exactamente $14$ mm de alto, ¿cuántas monedas hay en la pila?

In the United States, coins have the following thicknesses: penny, $1.55$ mm; nickel, $1.95$ mm; dime, $1.35$ mm; quarter, $1.75$ mm. If a stack of these coins is exactly $14$ mm high, how many coins are in the stack?

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: B

Conceptos:valor posicional decimal acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1530

Solución:

Cada grosor termina en $5$ en las centésimas. Una pila con un número impar de monedas conserva un $5$ ahí, y los pares dan un dígito impar en las décimas, así que una altura entera requiere que la cantidad sea un múltiplo de $4.$

Una pila de $4$ monedas mide a lo sumo $4(1.95) = 7.8$ mm, y una pila de $12$ monedas mide al menos $12(1.35) = 16.2$ mm, así que solo $8$ monedas pueden sumar $14$ mm.

En efecto, $8$ quarters dan $8(1.75) = 14$ mm.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each thickness ends with $5$ in the hundredths place. A stack of an odd number of coins keeps a $5$ there, and pairs give an odd digit in the tenths place, so a whole-number height requires the count to be a multiple of $4.$

A stack of $4$ coins is at most $4(1.95) = 7.8$ mm, and a stack of $12$ coins is at least $12(1.35) = 16.2$ mm, so only $8$ coins can total $14$ mm.

Indeed, $8$ quarters give $8(1.75) = 14$ mm.

Thus, the correct answer is B.

14.

Una bolsa contiene inicialmente solo canicas rojas y azules, con más azules que rojas. Se agregan canicas rojas a la bolsa hasta que solo $\tfrac{1}{3}$ de las canicas de la bolsa son azules. Luego se agregan canicas amarillas a la bolsa hasta que solo $\tfrac{1}{5}$ de las canicas de la bolsa son azules. Finalmente, se duplica el número de canicas azules de la bolsa. ¿Qué fracción de las canicas que ahora hay en la bolsa son azules?

A bag initially contains red marbles and blue marbles only, with more blue than red. Red marbles are added to the bag until only $\tfrac{1}{3}$ of the marbles in the bag are blue. Then yellow marbles are added to the bag until only $\tfrac{1}{5}$ of the marbles in the bag are blue. Finally, the number of blue marbles in the bag is doubled. What fraction of the marbles now in the bag are blue?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{1}{2}$

Respuesta: C

Conceptos:fracción razón y proporción

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

Supongamos que hay $B$ canicas azules. Después de agregar canicas rojas el total es $3B;$ después de agregar canicas amarillas el total es $5B,$ todavía con $B$ azules.

Al duplicar las canicas azules se obtienen $2B$ azules de un total de $6B,$ lo que es $\dfrac{2B}{6B} = \dfrac{1}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let there be $B$ blue marbles. After adding red marbles the total is $3B;$ after adding yellow marbles the total is $5B,$ still with $B$ blue.

Doubling the blue marbles gives $2B$ blue out of $6B$ total, which is $\dfrac{2B}{6B} = \dfrac{1}{3}.$

Thus, the correct answer is C.

15.

Patty tiene $20$ monedas que consisten en nickels y dimes. Si sus nickels fueran dimes y sus dimes fueran nickels, tendría $70$ centavos más. ¿Cuánto valen sus monedas?

Patty has $20$ coins consisting of nickels and dimes. If her nickels were dimes and her dimes were nickels, she would have $70$ cents more. How much are her coins worth?

$\$1.15$

$\$1.20$

$\$1.25$

$\$1.30$

$\$1.35$

Respuesta: A

Conceptos:sistema de ecuaciones dinero

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

El intercambio aumenta el valor, así que Patty tiene más nickels que dimes. Cada moneda intercambiada cambia el total en $5$ centavos, así que tiene $70 / 5 = 14$ nickels más que dimes.

Con $n + d = 20$ y $n - d = 14,$ tiene $17$ nickels y $3$ dimes.

Sus monedas valen $17 \cdot 5 + 3 \cdot 10 = 115$ centavos, es decir $\$1.15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Swapping increases the value, so Patty has more nickels than dimes. Each swapped coin changes the total by $5$ cents, so she has $70 / 5 = 14$ more nickels than dimes.

With $n + d = 20$ and $n - d = 14,$ she has $17$ nickels and $3$ dimes.

Her coins are worth $17 \cdot 5 + 3 \cdot 10 = 115$ cents, or $\$1.15.$

Thus, the correct answer is A.

16.

Tres círculos de radio $1$ son tangentes externamente entre sí y tangentes internamente a un círculo mayor. ¿Cuál es el radio del círculo grande?

Three circles of radius $1$ are externally tangent to each other and internally tangent to a larger circle. What is the radius of the large circle?

$\dfrac{2 + \sqrt{6}}{3}$

$2$

$\dfrac{2 + 3\sqrt{2}}{3}$

$\dfrac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Respuesta: D

Conceptos:circunferencias tangentes triángulo equilátero triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1640

Solución:

Los centros de los tres círculos unitarios forman un triángulo equilátero de lado $2.$ Su centro es el centro del círculo grande.

La distancia del centro de un triángulo equilátero a un vértice es $\dfrac{\text{side}}{\sqrt3} = \dfrac{2}{\sqrt3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}.$

Sumando el radio unitario, el radio grande es $1 + \dfrac{2\sqrt3}{3} = \dfrac{3 + 2\sqrt3}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The centers of the three unit circles form an equilateral triangle with side $2.$ Its center is the center of the large circle.

The distance from the center of an equilateral triangle to a vertex is $\dfrac{\text{side}}{\sqrt3} = \dfrac{2}{\sqrt3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}.$

Adding the unit radius, the large radius is $1 + \dfrac{2\sqrt3}{3} = \dfrac{3 + 2\sqrt3}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

17.

Los dos dígitos de la edad de Jack son los mismos que los dígitos de la edad de Bill, pero en orden inverso. Dentro de cinco años Jack tendrá el doble de la edad que Bill tendrá entonces. ¿Cuál es la diferencia entre sus edades actuales?

The two digits in Jack's age are the same as the digits in Bill's age, but in reverse order. In five years Jack will be twice as old as Bill will be then. What is the difference in their current ages?

$9$

$18$

$27$

$36$

$45$

Respuesta: B

Conceptos:edades dígitos Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1410

Solución:

Sea la edad de Jack $10x + y$ y la de Bill $10y + x.$ Dentro de cinco años $10x + y + 5 = 2(10y + x + 5),$ que se simplifica a $8x = 19y + 5.$

Como $x$ y $y$ son dígitos, la única solución es $y = 1,$ $x = 3.$

Así que Jack tiene $31$ y Bill tiene $13,$ una diferencia de $18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let Jack's age be $10x + y$ and Bill's be $10y + x.$ In five years $10x + y + 5 = 2(10y + x + 5),$ which simplifies to $8x = 19y + 5.$

Since $x$ and $y$ are digits, the only solution is $y = 1,$ $x = 3.$

So Jack is $31$ and Bill is $13,$ a difference of $18.$

Thus, the correct answer is B.

18.

En el triángulo rectángulo $\triangle ACE,$ tenemos $AC = 12,$ $CE = 16,$ y $EA = 20.$ Los puntos $B, D,$ y $F$ están ubicados en $AC, CE,$ y $EA,$ respectivamente, de modo que $AB = 3,$ $CD = 4,$ y $EF = 5.$ ¿Cuál es la razón entre el área de $\triangle BDF$ y la de $\triangle ACE$ ?

In right triangle $\triangle ACE,$ we have $AC = 12,$ $CE = 16,$ and $EA = 20.$ Points $B, D,$ and $F$ are located on $AC, CE,$ and $EA,$ respectively, so that $AB = 3,$ $CD = 4,$ and $EF = 5.$ What is the ratio of the area of $\triangle BDF$ to that of $\triangle ACE?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{9}{25}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{11}{25}$

$\dfrac{7}{16}$

Respuesta: E

Conceptos:razón de áreas descomposición de áreas área del triángulo

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

El área de $\triangle ACE$ es $\tfrac12(12)(16) = 96.$

Cada triángulo de esquina $\triangle ABF,$ $\triangle BCD,$ y $\triangle DEF$ tiene una base y una altura que son $\tfrac34$ y $\tfrac14$ de una base y altura correspondientes de $\triangle ACE.$ Así que cada uno tiene área $\tfrac14 \cdot \tfrac34 = \tfrac{3}{16}$ de $\triangle ACE.$

Por lo tanto $\begin{aligned} \dfrac{[BDF]}{[ACE]} &= 1 - 3 \cdot \dfrac{3}{16} \\ &= 1 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{7}{16}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The area of $\triangle ACE$ is $\tfrac12(12)(16) = 96.$

Each corner triangle $\triangle ABF,$ $\triangle BCD,$ and $\triangle DEF$ has a base and an altitude that are $\tfrac34$ and $\tfrac14$ of a corresponding base and altitude of $\triangle ACE.$ So each has area $\tfrac14 \cdot \tfrac34 = \tfrac{3}{16}$ of $\triangle ACE.$

Hence $\begin{aligned} \dfrac{[BDF]}{[ACE]} &= 1 - 3 \cdot \dfrac{3}{16} \\ &= 1 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{7}{16}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

19.

En la sucesión $2001, 2002, 2003, \ldots,$ cada término después del tercero se obtiene restando el término anterior de la suma de los dos términos que preceden a ese término. Por ejemplo, el cuarto término es $2001 + 2002 - 2003 = 2000.$ ¿Cuál es el término número $2004$ de esta sucesión?

In the sequence $2001, 2002, 2003, \ldots,$ each term after the third is found by subtracting the previous term from the sum of the two terms that precede that term. For example, the fourth term is $2001 + 2002 - 2003 = 2000.$ What is the $2004$ th term in this sequence?

$-2004$

$-2$

$0$

$4003$

$6007$

Respuesta: C

Conceptos:recursión sucesión aritmética reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1460

Solución:

La recurrencia $a_{k+1} = a_{k-2} + a_{k-1} - a_k$ da $a_{k+1} - a_{k-1} = -(a_k - a_{k-2}).$ La sucesión comienza $2001, 2002, 2003,$ $2000, 2005, 1998, \ldots$

Así que los términos en posición par forman la sucesión aritmética $2002, 2000, 1998, \ldots$ con diferencia común $-2.$ El término $2004$ es su término número $1002$ , $2002 + 1001(-2) = 0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The recurrence $a_{k+1} = a_{k-2} + a_{k-1} - a_k$ gives $a_{k+1} - a_{k-1} = -(a_k - a_{k-2}).$ The sequence begins $2001, 2002, 2003,$ $2000, 2005, 1998, \ldots$

So the even-position terms form the arithmetic sequence $2002, 2000, 1998, \ldots$ with common difference $-2.$ The $2004$ th term is its $1002$ nd term, $2002 + 1001(-2) = 0.$

Thus, the correct answer is C.

20.

En $\triangle ABC$ los puntos $D$ y $E$ están en $\overline{BC}$ y $\overline{AC},$ respectivamente. Si $\overline{AD}$ y $\overline{BE}$ se intersecan en $T$ de modo que $AT/DT = 3$ y $BT/ET = 4,$ ¿cuánto vale $CD/BD$ ?

In $\triangle ABC$ points $D$ and $E$ lie on $\overline{BC}$ and $\overline{AC},$ respectively. If $\overline{AD}$ and $\overline{BE}$ intersect at $T$ so that $AT/DT = 3$ and $BT/ET = 4,$ what is $CD/BD?$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{4}{11}$

$\dfrac{5}{12}$

Respuesta: D

Conceptos:semejanza rectas paralelas razón y proporción

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

Sea $F$ un punto en $\overline{AC}$ con $DF \parallel BE,$ y escribe $ET = x,$ $BT = 4x.$

De $\triangle ATE \sim \triangle ADF,$ $\dfrac{DF}{x} = \dfrac{AD}{AT} = \dfrac{4}{3},$ así que $DF = \dfrac{4x}{3}.$

De $\triangle BEC \sim \triangle DFC,$ $\dfrac{CD}{BC} = \dfrac{DF}{BE} = \dfrac{4x/3}{5x} = \dfrac{4}{15}.$

Por lo tanto $\begin{aligned} \dfrac{CD}{BD} &= \dfrac{CD/BC}{1 - CD/BC} \\ &= \dfrac{4/15}{11/15} = \dfrac{4}{11}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $F$ be on $\overline{AC}$ with $DF \parallel BE,$ and write $ET = x,$ $BT = 4x.$

From $\triangle ATE \sim \triangle ADF,$ $\dfrac{DF}{x} = \dfrac{AD}{AT} = \dfrac{4}{3},$ so $DF = \dfrac{4x}{3}.$

From $\triangle BEC \sim \triangle DFC,$ $\dfrac{CD}{BC} = \dfrac{DF}{BE} = \dfrac{4x/3}{5x} = \dfrac{4}{15}.$

Therefore $\begin{aligned} \dfrac{CD}{BD} &= \dfrac{CD/BC}{1 - CD/BC} \\ &= \dfrac{4/15}{11/15} = \dfrac{4}{11}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

21.

Sean $1, 4, \ldots$ y $9, 16, \ldots$ dos progresiones aritméticas. El conjunto $S$ es la unión de los primeros $2004$ términos de cada sucesión. ¿Cuántos números distintos hay en $S$ ?

Let $1, 4, \ldots$ and $9, 16, \ldots$ be two arithmetic progressions. The set $S$ is the union of the first $2004$ terms of each sequence. How many distinct numbers are in $S?$

$3722$

$3732$

$3914$

$3924$

$4007$

Respuesta: A

Conceptos:sucesión aritmética mínimo común múltiplo inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1740

Solución:

La primera sucesión es $1 + 3k$ con término mayor $6010,$ y la segunda es $9 + 7j$ con un último término mucho mayor, así que el límite que restringe es $6010.$

Un valor común tiene la forma $16 + 21m$ (el primer término compartido es $16,$ espaciado por $\mathrm{lcm}(3, 7) = 21$ ). Pedir $16 + 21m \le 6010$ da $0 \le m \le 285,$ es decir $286$ números comunes.

El número de valores distintos es $2004 + 2004 - 286 = 3722.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The first sequence is $1 + 3k$ with largest term $6010,$ and the second is $9 + 7j$ with a much larger last term, so the binding limit is $6010.$

A common value has the form $16 + 21m$ (the first shared term is $16,$ spaced by $\mathrm{lcm}(3, 7) = 21$ ). Requiring $16 + 21m \le 6010$ gives $0 \le m \le 285,$ that is $286$ common numbers.

The number of distinct values is $2004 + 2004 - 286 = 3722.$

Thus, the correct answer is A.

22.

Un triángulo con lados de $5, 12,$ y $13$ tiene tanto un círculo inscrito como uno circunscrito. ¿Cuál es la distancia entre los centros de esos círculos?

A triangle with sides of $5, 12,$ and $13$ has both an inscribed and a circumscribed circle. What is the distance between the centers of those circles?

$\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$

$\dfrac{7}{2}$

$\sqrt{15}$

$\dfrac{\sqrt{65}}{2}$

$\dfrac{9}{2}$

Respuesta: D

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio triángulo rectángulo geometría analítica

Nivel de dificultad: 1770

Solución:

Como $5^2 + 12^2 = 13^2,$ el triángulo es rectángulo. Colócalo en $(0, 0),$ $(5, 0),$ $(0, 12).$ El circuncentro es el punto medio de la hipotenusa, $\left(\tfrac52, 6\right).$

El inradio satisface $(12 - r) + (5 - r) = 13,$ así que $r = 2$ y el incentro es $(2, 2).$

La distancia es $\begin{gathered} \sqrt{\left(\tfrac52 - 2\right)^2 + (6 - 2)^2} \\ = \sqrt{\tfrac14 + 16} \\ = \dfrac{\sqrt{65}}{2}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $5^2 + 12^2 = 13^2,$ the triangle is right. Place it at $(0, 0),$ $(5, 0),$ $(0, 12).$ The circumcenter is the midpoint of the hypotenuse, $\left(\tfrac52, 6\right).$

The inradius satisfies $(12 - r) + (5 - r) = 13,$ so $r = 2$ and the incenter is $(2, 2).$

The distance is $\begin{gathered} \sqrt{\left(\tfrac52 - 2\right)^2 + (6 - 2)^2} \\ = \sqrt{\tfrac14 + 16} \\ = \dfrac{\sqrt{65}}{2}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

23.

Cada cara de un cubo se pinta de rojo o de azul, cada color con probabilidad $\tfrac12.$ El color de cada cara se determina de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el cubo pintado se pueda colocar sobre una superficie horizontal de modo que las cuatro caras verticales sean todas del mismo color?

Each face of a cube is painted either red or blue, each with probability $\tfrac12.$ The color of each face is determined independently. What is the probability that the painted cube can be placed on a horizontal surface so that the four vertical faces are all the same color?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{5}{16}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad básica análisis por casos geometría del cubo

Nivel de dificultad: 1990

Solución:

Fijando la orientación, hay $2^6 = 64$ coloraciones.

Una coloración funciona si las seis caras coinciden ( $2$ formas), si exactamente cinco coinciden ( $\binom{6}{5} \cdot 2 = 12$ formas), o si cuatro caras comparten un color y el par restante son caras opuestas del otro color ( $3$ pares opuestos, $2$ colores, lo que da $6$ formas).

El total es $2 + 12 + 6 = 20,$ así que la probabilidad es $\dfrac{20}{64} = \dfrac{5}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Fixing the orientation, there are $2^6 = 64$ colorings.

A coloring works if all six faces match ( $2$ ways), exactly five match ( $\binom{6}{5} \cdot 2 = 12$ ways), or four faces share a color with the remaining pair being opposite faces of the other color ( $3$ opposite pairs, $2$ colors, giving $6$ ways).

The total is $2 + 12 + 6 = 20,$ so the probability is $\dfrac{20}{64} = \dfrac{5}{16}.$

Thus, the correct answer is B.

24.

En $\triangle ABC$ tenemos $AB = 7,$ $AC = 8,$ y $BC = 9.$ El punto $D$ está en el círculo circunscrito del triángulo de modo que $\overline{AD}$ biseca $\angle BAC.$ ¿Cuál es el valor de $AD/CD$ ?

In $\triangle ABC$ we have $AB = 7,$ $AC = 8,$ and $BC = 9.$ Point $D$ is on the circumscribed circle of the triangle so that $\overline{AD}$ bisects $\angle BAC.$ What is the value of $AD/CD?$

$\dfrac{9}{8}$

$\dfrac{5}{3}$

$2$

$\dfrac{17}{7}$

$\dfrac{5}{2}$

Respuesta: B

Conceptos:ángulo inscrito semejanza teorema de la bisectriz

Nivel de dificultad: 2030

Solución:

Sea $\overline{AD}$ que corta a $\overline{BC}$ en $E.$ Como $\angle ABC$ y $\angle ADC$ subtienden el mismo arco, son iguales, y $\angle EAB = \angle CAD,$ así que $\triangle ABE \sim \triangle ADC.$

Por lo tanto $\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{AB}{BE}.$

Por el Teorema de la Bisectriz, $\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{AC},$ así que $BE = \dfrac{AB \cdot BC}{AB + AC} = \dfrac{7 \cdot 9}{15}.$

Por lo tanto $\begin{aligned} \dfrac{AD}{CD} &= \dfrac{AB}{BE} = \dfrac{AB + AC}{BC} \\ &= \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $\overline{AD}$ meet $\overline{BC}$ at $E.$ Since $\angle ABC$ and $\angle ADC$ subtend the same arc, they are equal, and $\angle EAB = \angle CAD,$ so $\triangle ABE \sim \triangle ADC.$

Hence $\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{AB}{BE}.$

By the Angle Bisector Theorem, $\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{AC},$ so $BE = \dfrac{AB \cdot BC}{AB + AC} = \dfrac{7 \cdot 9}{15}.$

Therefore $\begin{aligned} \dfrac{AD}{CD} &= \dfrac{AB}{BE} = \dfrac{AB + AC}{BC} \\ &= \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

25.

Un círculo de radio $1$ es tangente internamente a dos círculos de radio $2$ en los puntos $A$ y $B,$ donde $AB$ es un diámetro del círculo menor. ¿Cuál es el área de la región, sombreada en la figura, que está fuera del círculo menor y dentro de cada uno de los dos círculos mayores?

A circle of radius $1$ is internally tangent to two circles of radius $2$ at points $A$ and $B,$ where $AB$ is a diameter of the smaller circle. What is the area of the region, shaded in the figure, that is outside the smaller circle and inside each of the two larger circles?

$\dfrac{5}{3}\pi - 3\sqrt{2}$

$\dfrac{5}{3}\pi - 2\sqrt{3}$

$\dfrac{8}{3}\pi - 3\sqrt{3}$

$\dfrac{8}{3}\pi - 3\sqrt{2}$

$\dfrac{8}{3}\pi - 2\sqrt{3}$

Respuesta: B

Conceptos:sector circular descomposición de áreas triángulo rectángulo especial simetría

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

Sean los centros de los círculos grandes $A$ y $B,$ sea $C$ el centro del círculo pequeño, y sea $D$ un punto donde se encuentran los dos círculos grandes.

Entonces $\triangle ACD$ es rectángulo con $AC = 1$ y $AD = 2,$ así que $CD = \sqrt3,$ $\angle CAD = 60^\circ,$ y su área es $\dfrac{\sqrt3}{2}.$

Un cuarto de la región sombreada es igual al sector de $60^\circ$ del círculo de radio $2$ (área $\dfrac{2\pi}{3}$ ) menos $\triangle ACD$ (área $\dfrac{\sqrt3}{2}$ ) menos un cuarto del círculo pequeño (área $\dfrac{\pi}{4}$ ), lo que da $\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\sqrt3}{2} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{12} - \dfrac{\sqrt3}{2}.$

Multiplicando por $4,$ el área sombreada es $\dfrac{5\pi}{3} - 2\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the large circles have centers $A$ and $B,$ let $C$ be the center of the small circle, and let $D$ be a point where the two large circles meet.

Then $\triangle ACD$ is right with $AC = 1$ and $AD = 2,$ so $CD = \sqrt3,$ $\angle CAD = 60^\circ,$ and its area is $\dfrac{\sqrt3}{2}.$

One quarter of the shaded region equals the $60^\circ$ sector of the radius- $2$ circle (area $\dfrac{2\pi}{3}$ ) minus $\triangle ACD$ (area $\dfrac{\sqrt3}{2}$ ) minus a quarter of the small circle (area $\dfrac{\pi}{4}$ ), giving $\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\sqrt3}{2} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{12} - \dfrac{\sqrt3}{2}.$

Multiplying by $4,$ the shaded area is $\dfrac{5\pi}{3} - 2\sqrt3.$

Thus, the correct answer is B.

Problemas del 2004 AMC 10B

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: B

Solución: