Question

Un anillo es la región entre dos círculos concéntricos. Los círculos concéntricos de la figura tienen radios $b$ y $c,$ con $b \gt c.$ Sea $\overline{OX}$ un radio del círculo mayor, sea $\overline{XZ}$ tangente al círculo menor en $Z,$ y sea $\overline{OY}$ el radio del círculo mayor que contiene a $Z.$ Sean $a = XZ,$ $d = YZ,$ y $e = XY.$ ¿Cuál es el área del anillo?

An annulus is the region between two concentric circles. The concentric circles in the figure have radii $b$ and $c,$ with $b \gt c.$ Let $\overline{OX}$ be a radius of the larger circle, let $\overline{XZ}$ be tangent to the smaller circle at $Z,$ and let $\overline{OY}$ be the radius of the larger circle that contains $Z.$ Let $a = XZ,$ $d = YZ,$ and $e = XY.$ What is the area of the annulus?

$\pi a^2$

$\pi b^2$

$\pi c^2$

$\pi d^2$

$\pi e^2$

Solución:

El anillo es la diferencia de las dos áreas circulares, $\pi b^2 - \pi c^2.$

Como $\overline{XZ}$ es tangente al círculo pequeño en $Z,$ es perpendicular al radio $\overline{OZ}.$ En el triángulo rectángulo $OZX$ con $OX = b,$ $OZ = c,$ y $XZ = a,$ obtenemos $b^2 - c^2 = a^2.$

Por lo tanto el área del anillo es $\pi a^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The annulus is the difference of the two circular areas, $\pi b^2 - \pi c^2.$

Because $\overline{XZ}$ is tangent to the small circle at $Z,$ it is perpendicular to the radius $\overline{OZ}.$ In right triangle $OZX$ with $OX = b,$ $OZ = c,$ and $XZ = a,$ we get $b^2 - c^2 = a^2.$

Therefore the area of the annulus is $\pi a^2.$

Thus, the correct answer is A.

2004 AMC 10B Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años