Question

¿Para cuál de los siguientes valores de $k$ la ecuación $\dfrac{x - 1}{x - 2} = \dfrac{x - k}{x - 6}$ no tiene solución para $x$ ?

For which of the following values of $k$ does the equation $\dfrac{x - 1}{x - 2} = \dfrac{x - k}{x - 6}$ have no solution for $x?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución:

Multiplicando en cruz se obtiene $(x - 1)(x - 6) = (x - 2)(x - k),$ que se desarrolla como $\begin{aligned} x^2 - 7x + 6 &= x^2 - (2 + k)x \\ &\quad {}+ 2k. \end{aligned}$

Al cancelar $x^2$ queda $(k - 5)x = 2k - 6,$ así que $x = \dfrac{2k - 6}{k - 5}.$ Esto no tiene solución exactamente cuando $k = 5,$ ya que entonces el coeficiente de $x$ es $0$ mientras que el lado derecho no es nulo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Cross multiplying gives $(x - 1)(x - 6) = (x - 2)(x - k),$ which expands to $\begin{aligned} x^2 - 7x + 6 &= x^2 - (2 + k)x \\ &\quad {}+ 2k. \end{aligned}$

Cancelling $x^2$ leaves $(k - 5)x = 2k - 6,$ so $x = \dfrac{2k - 6}{k - 5}.$ This has no solution exactly when $k = 5,$ since then the coefficient of $x$ is $0$ while the right side is nonzero.

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 10B Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años