Question

Un grupo de $100$ estudiantes de diferentes países se reúne en una competencia de matemáticas. Cada estudiante habla el mismo número de idiomas y, para cada par de estudiantes $A$ y $B,$ el estudiante $A$ habla algún idioma que el estudiante $B$ no habla, y el estudiante $B$ habla algún idioma que el estudiante $A$ no habla. ¿Cuál es el menor número total posible de idiomas hablados por todos los estudiantes?

A group of $100$ students from different countries meet at a mathematics competition. Each student speaks the same number of languages, and, for every pair of students $A$ and $B,$ student $A$ speaks some language that student $B$ does not speak, and student $B$ speaks some language that student $A$ does not speak. What is the least possible total number of languages spoken by all the students?

$9$

$10$

$12$

$51$

$100$

Solución:

Asigna a cada estudiante el conjunto de idiomas que habla. La condición dice que el conjunto de nadie está contenido en el de otro. Todos hablan el mismo número $k$ de idiomas, y dos conjuntos distintos de $k$ elementos nunca pueden contenerse mutuamente, así que todo lo que necesitamos son $100$ subconjuntos de $k$ elementos distintos de los $n$ idiomas, es decir $\binom{n}{k} \ge 100.$ Con $n = 8$ lo mejor que logramos es $\binom{8}{4} = 70,$ por debajo de $100.$ Pero $\binom{9}{4} = 126 \ge 100.$ Así que $9$ idiomas son a la vez suficientes y necesarios. Por lo tanto, la respuesta es A.

Give each student the set of languages they speak. The condition says no one's set sits inside another's. Everyone speaks the same number $k$ of languages, and two distinct $k$ -element sets can never contain each other, so all we need is $100$ different $k$ -subsets of the $n$ languages, i.e. $\binom{n}{k} \ge 100.$ With $n = 8$ the best we can manage is $\binom{8}{4} = 70,$ short of $100.$ But $\binom{9}{4} = 126 \ge 100.$ So $9$ languages are both enough and necessary. Therefore, the answer is A.

2024 AMC 10B Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años