Question

Sea $S$ un conjunto de puntos $(x,y)$ en el plano coordenado tal que dos de las tres cantidades $3,x+2,$ y $y-4$ sean iguales y la tercera de las tres cantidades no sea mayor que este valor común. ¿Cuál de las siguientes es una descripción correcta de $S$ ?

Let $S$ be a set of points $(x,y)$ in the coordinate plane such that two of the three quantities $3,x+2,$ and $y-4$ are equal and the third of the three quantities is no greater than this common value. Which of the following is a correct description for $S?$

un solo punto

a single point

dos rectas que se intersecan

two intersecting lines

tres rectas cuyas intersecciones por pares son tres puntos distintos

three lines whose pairwise intersections are three distinct points

un triángulo

a triangle

tres rayos con un extremo común

three rays with a common endpoint

Solución:

Analicemos por casos cuáles de los valores son iguales. Si $3 = x + 2,$ entonces $x = 1.$ Esto también nos dice que $y - 4 \leq 3$ $y \leq 7.$ Esto describe un rayo que empieza en $(1, 7)$ y se extiende en la dirección $y$ negativa.

De forma similar, si $3 = y - 4,$ entonces $y = 7$ y $x + 2 \leq 3$ $x \leq 1.$ Esto también describe un rayo que empieza en $(1, 7)$ pero que en cambio se extiende en la dirección $x$ negativa.

Finalmente, si $x + 2 = y - 4,$ entonces tenemos la recta $y = x + 6.$ Además, tenemos que $3 \leq x + 2$ $x \geq 1$ y $3 \leq y - 4$ $y \geq 7.$ Observa que si se cumple una de estas condiciones, la otra también es necesariamente cierta por la ecuación de la recta.

Si $y = 7,$ entonces $x = 1.$ Los demás puntos están sobre la recta, donde $y \gt 7$ y $x \gt 1.$

Esto describe otro rayo que empieza en $(1, 7)$ y se aleja en una tercera dirección.

Los tres casos dan rayos que se originan en $(1, 7)$ y que van en direcciones distintas.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let us case on which of the values are equal. If $3 = x + 2,$ then $x = 1.$ This also tells us that $y - 4 \leq 3$ $y \leq 7.$ This describes a ray starting at $(1, 7)$ and extending in the negative $y$ direction.

Similarly, if $3 = y - 4,$ then $y = 7$ and $x + 2 \leq 3$ $x \leq 1.$ This also describes a ray starting at $(1, 7)$ but instead extending in the negative $x$ direction.

Finally, if $x + 2 = y - 4,$ then we have the line $y = x + 6.$ Furthermore, we have that $3 \leq x + 2$ $x \geq 1$ and $3 \leq y - 4$ $y \geq 7.$ Note that if one of these conditions is met, the other is also necessarily true due to the equation of the line.

If $y = 7,$ then $x = 1.$ The other points are along the line, where $y \gt 7$ and $x \gt 1.$

This describes another ray that starts at $(1, 7)$ and goes off in some third direction.

All three cases result in rays originating from $(1, 7)$ that all go in different directions.

Thus, E is the correct answer.

2017 AMC 10A Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años