Question

Define una sucesión de forma recursiva por $F_{0}=0,~F_{1}=1,$ y $F_{n}=$ el residuo cuando $F_{n-1}+F_{n-2}$ se divide entre $3,$ para todo $n\geq 2.$ Así, la sucesión comienza $0,1,1,2,0,2,\ldots.$ ¿Cuánto vale $F_{2017}+F_{2018}+F_{2019}+F_{2020}+$ $F_{2021}+F_{2022}+F_{2023}+F_{2024}$ ?

Define a sequence recursively by $F_{0}=0,~F_{1}=1,$ and $F_{n}=$ the remainder when $F_{n-1}+F_{n-2}$ is divided by $3,$ for all $n\geq 2.$ Thus the sequence starts $0,1,1,2,0,2,\ldots.$ What is $F_{2017}+F_{2018}+F_{2019}+F_{2020}+$ $F_{2021}+F_{2022}+F_{2023}+F_{2024}?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Solución:

Enumeremos los primeros valores para ver si podemos encontrar un patrón en esta sucesión.

$0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, \cdots$

De esto podemos ver que el patrón se repite cada $8$ términos.

La respuesta buscada es la suma de $8$ números consecutivos, que es fija. Esta suma es $0 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2$ $+ 2 + 1 = 9.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let us list out the first few values to see if we can find a pattern in this sequence.

$0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, \cdots$

From this we can see that the pattern repeats every $8$ terms.

The desired answer is the sum of $8$ consecutive numbers, which is fixed. This sum is $0 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2$ $+ 2 + 1 = 9.$ Thus, D is the correct answer.

2017 AMC 10A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años