Question

Define una sucesión recursivamente mediante

F_{0}=0,

~F_{1}=1,

y haciendo que

F_{n}=

el residuo de dividir

F_{n-1}+F_{n-2}

entre

3,

para todo

n\geq 2.

Así, la sucesión comienza

0,

1,

1,

2,

0,

2,

\ldots.

¿Cuál es el valor de

F_{2017}+F_{2018}+F_{2019}+F_{2020}+

F_{2021}+F_{2022}+F_{2023}+F_{2024}?

Define a sequence recursively by

F_{0}=0,

~F_{1}=1,

and

F_{n}=

the remainder when

F_{n-1}+F_{n-2}

is divided by

3,

for all

n\geq 2.

Thus the sequence starts

0,

1,

1,

2,

0,

2,

\ldots.

What is

F_{2017}+F_{2018}+F_{2019}+F_{2020}+

F_{2021}+F_{2022}+F_{2023}+F_{2024}?

6

7

8

9

10

Escribe suficientes términos para ver el periodo módulo

3

.

Write out enough terms to see the period modulo

3

Los ocho términos pedidos cubren un periodo completo.

The requested eight terms cover one complete period

Enumeremos los primeros valores para buscar un patrón en la sucesión.

0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, \cdots

El par

(F_8,F_9)=(0,1)=(F_0,F_1).

Como cada término posterior queda determinado por los dos términos anteriores, la sucesión se repite cada

8

términos.

La expresión pedida es la suma de

8

términos consecutivos, que es constante. Esta suma es

0 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2

+ 2 + 1 = 9.

Así, la respuesta correcta es D.

Let us list out the first few values to see if we can find a pattern in this sequence.

0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, \cdots

The pair

(F_8,F_9)=(0,1)=(F_0,F_1).

Because each later term is determined by the preceding two terms, the sequence therefore repeats every

8

terms.

The desired answer is the sum of

8

consecutive numbers, which is fixed. This sum is

0 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2

+ 2 + 1 = 9.

Thus, D is the correct answer.