Question

Un promedio iterativo de los números $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ y $5$ se calcula de la siguiente manera. Ordena los cinco números en algún orden. Halla la media de los dos primeros números, luego halla la media de eso con el tercer número, luego la media de eso con el cuarto número, y finalmente la media de eso con el quinto número. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor valor posible que se puede obtener con este procedimiento?

An iterative average of the numbers $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ and $5$ is computed the following way. Arrange the five numbers in some order. Find the mean of the first two numbers, then find the mean of that with the third number, then the mean of that with the fourth number, and finally the mean of that with the fifth number. What is the difference between the largest and smallest possible values that can be obtained using this procedure?

$\dfrac{31}{16}$

$2$

$\dfrac{17}{8}$

$3$

$\dfrac{65}{16}$

Solución:

Sea el orden de los números $a, b, c, d, e.$

Entonces el promedio iterativo es $\dfrac{\dfrac{\dfrac{\dfrac{a + b}{2} + c}{2} + d}{2} + e}{2}$ $= \dfrac{a + b + 2c + 4d + 8e}{16}.$

Para minimizarlo, tomamos el orden $5, 4, 3, 2, 1,$ lo que nos da una suma de $\dfrac{5 + 4 + 6 + 8 + 8}{16} = \dfrac{31}{16}.$

Para maximizarlo, invertimos este orden para obtener un promedio de $\dfrac{1 + 2 + 6 + 16 + 40}{16} = \dfrac{65}{16}.$

La diferencia entre estos es $\dfrac{65}{16} - \dfrac{31}{16} = \dfrac{34}{16} = \dfrac{17}{8}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let the order of the numbers be $a, b, c, d, e.$

Then the iterative average is $\dfrac{\dfrac{\dfrac{\dfrac{a + b}{2} + c}{2} + d}{2} + e}{2}$ $= \dfrac{a + b + 2c + 4d + 8e}{16}.$

To minimize this, we make the order $5, 4, 3, 2, 1,$ which gives us a sum of $\dfrac{5 + 4 + 6 + 8 + 8}{16} = \dfrac{31}{16}.$

To maximize it, we have to reverse this order to get an average of $\dfrac{1 + 2 + 6 + 16 + 40}{16} = \dfrac{65}{16}.$

The difference between these is $\dfrac{65}{16} - \dfrac{31}{16} = \dfrac{34}{16} = \dfrac{17}{8}.$

Thus, C is the correct answer.

2012 AMC 10A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años