Question

¿Cuál es el área de la región en el plano de coordenadas definida por la siguiente desigualdad? $\bigl||x| - 1\bigr| + \bigl||y| - 1\bigr| \le 1$

What is the area of the region in the coordinate plane defined by the inequality $\bigl||x| - 1\bigr| + \bigl||y| - 1\bigr| \le 1?$

$2$

$8$

$4$

$15$

$12$

Solución:

Sustituye $u = |x|,$ $v = |y|.$ Entonces $|u - 1| + |v - 1| \le 1$ es un rombo centrado en $(1, 1)$ con diagonales de longitud $2,$ así que tiene área $2,$ y queda por completo en $u, v \ge 0.$ La aplicación $(x, y) \mapsto (|x|, |y|)$ es cuatro a uno sobre $u, v \gt 0,$ así que la región completa tiene área $4 \times 2 = 8.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Substitute $u = |x|,$ $v = |y|.$ Then $|u - 1| + |v - 1| \le 1$ is a diamond centered at $(1, 1)$ with diagonals of length $2,$ so it has area $2,$ and it sits entirely in $u, v \ge 0.$ The map $(x, y) \mapsto (|x|, |y|)$ is four-to-one over $u, v \gt 0,$ so the full region has area $4 \times 2 = 8.$ Thus, B is the correct answer.

2023 AMC 10B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años