Question

¿Cuántos números de tres dígitos no son divisibles por $5,$ tienen dígitos que suman menos de $20$ y tienen el primer dígito igual al tercero?

How many three-digit numbers are not divisible by $5,$ have digits that sum to less than $20,$ and have the first digit equal to the third digit?

$52$

$60$

$66$

$68$

$70$

Solución:

Observa que para que el número no sea divisible por $5,$ el dígito de las unidades no puede ser ni $0$ ni $5.$

Sea $x$ el dígito de las centenas y de las unidades, e $y$ el dígito de las decenas. Entonces queremos $2x + y \lt 20.$ Haciendo casos según las $9$ opciones de $x,$ obtenemos:

Si $x$ es $1, 2, 3,$ o $4,$ entonces $y$ puede ser cualquier cosa, ya que $y \lt 10.$

Si $x = 6,$ entonces $y \lt 8,$ lo que nos da $8$ soluciones.

Si $x = 7,$ entonces $y \lt 6,$ lo que nos da $6$ soluciones.

Si $x = 8,$ entonces $y \lt 4,$ lo que nos da $4$ soluciones.

Si $x = 9,$ entonces $y \lt 2,$ lo que nos da $2$ soluciones.

Esto nos da un total de $4 \cdot 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 60$ soluciones.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that for the number to not be divisible by $5,$ the units digits cannot be either $0$ or $5.$

Let $x$ be the hundreds and units digit and $y$ be the tens digit. Then we want $2x + y \lt 20.$ Casing on the $9$ options of $x,$ we get:

If $x$ is $1, 2, 3,$ or $4,$ then $y$ can be anything since $y \lt 10.$

If $x = 6,$ then $y \lt 8,$ which gives us $8$ solutions.

If $x = 7,$ then $y \lt 6,$ which gives us $6$ solutions.

If $x = 8,$ then $y \lt 4,$ which gives us $4$ solutions.

If $x = 9,$ then $y \lt 2,$ which gives us $2$ solutions.

This gives us a total of $4 \cdot 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 60$ solutions.

Thus, B is the correct solution.

2013 AMC 10A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años