Question

La diferencia positiva entre un par de primos es igual a $2,$ y la diferencia positiva entre los cubos de los dos primos es $31106.$ ¿Cuál es la suma de las cifras del menor primo que es mayor que esos dos primos?

The positive difference between a pair of primes is equal to $2,$ and the positive difference between the cubes of the two primes is $31106.$ What is the sum of the digits of the least prime that is greater than those two primes?

$\ 8$

$\ 10$

$\ 11$

$\ 13$

$\ 16$

Solución:

Como los primos están a $2$ de distancia entre sí, podemos hacerlos iguales a $m-1,m+1,$ donde $m$ es su promedio.

Entonces, $(m+1)^3-(m-1)^3 = 31106 ,$ lo que da $m^3+3m^2+3m+1$ $-(m^3-3m^2+3m-1)$ $= 6m^2+2 = 31106.$

Por lo tanto, $m^2= 5184,$ así que $m=72.$

Entonces los primos son $71,73.$ El menor primo mayor que ambos es $79,$ y la suma de sus cifras es $16.$

Así, la respuesta es E.

Since the primes are $2$ away from each other, we can make them equal to $m-1,m+1,$ where $m$ is their average.

Then, $(m+1)^3-(m-1)^3 = 31106 ,$ making $m^3+3m^2+3m+1$ $-(m^3-3m^2+3m-1)$ $= 6m^2+2 = 31106.$

Therefore, $m^2= 5184,$ so $m=72.$

The primes are therefore $71,73.$ The least prime greater than both of those is $79,$ and its digit sum is $16.$

Thus, the answer is E .

2022 AMC 10B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años