Question

Un triángulo de papel con lados de longitudes $3,4,$ y $5$ pulgadas, como se muestra, se dobla de modo que el punto $A$ cae sobre el punto $B.$ ¿Cuál es la longitud en pulgadas del pliegue?

A paper triangle with sides of lengths $3,4,$ and $5$ inches, as shown, is folded so that point $A$ falls on point $B.$ What is the length in inches of the crease?

$1+\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

$\sqrt{3}$

$\dfrac{7}{4}$

$\dfrac{15}{8}$

$2$

Solución:

Nota que el pliegue será la mediatriz de $\overline{AB}.$ Sea $\overline{DE}$ el pliegue.

Por semejanza $AA$ , sabemos que $\triangle ADE \sim \triangle ACB.$ Por lo tanto, $\dfrac{BC}{AC} = \dfrac{DE}{AD}$ Sustituyendo los valores: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{DE}{\frac{5}{2}}.$

Al simplificar obtenemos $DE = \dfrac{15}{8}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that the crease will the perpendicular bisector of $\overline{AB}.$ Let $\overline{DE}$ be the crease.

By $AA$ similarity, we know that $\triangle ADE \sim \triangle ACB.$ Therefore, $\dfrac{BC}{AC} = \dfrac{DE}{AD}$ Plugging in values: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{DE}{\frac{5}{2}}.$

Simplifying gets us that $DE = \dfrac{15}{8}.$

Thus, D is the correct answer.

2018 AMC 10A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años