Question

Jo y Blair se turnan para contar desde $1$ hasta uno más que el último número dicho por la otra persona.

Jo empieza diciendo "1", así que Blair sigue diciendo "1, 2". Luego Jo dice "1, 2, 3", y así sucesivamente.

¿Cuál es el $53^{rd}$ número dicho?

Jo and Blair take turns counting from $1$ to one more than the last number said by the other person.

Jo starts by saying"1", so Blair follows by saying "1, 2". Jo then says "1, 2, 3", and so on.

What is the $53^{rd}$ number said?

$2$

$3$

$5$

$6$

$8$

Solución:

La secuencia $1,2 \cdots n$ se dice por primera vez después del $n^{th}$ número triangular $T_n,$ que es: $T_n = \dfrac{n(n+1)}2.$

(El número triangular $T_n$ se define como la suma de los números $1$ a $n.$ En cuanto a por qué tiene esta fórmula, hay muchas maneras de demostrarlo usando inducción o sucesiones aritméticas. ¡Eso te lo dejamos a ti!)

Continuando, al escribir algunos números triangulares, notamos que $T_9 = 45$ es el número triangular más cercano menor que $53.$ Esto significa que la secuencia $1,2 \cdots 9$ se dice por primera vez después de $T_9 = \dfrac{9\cdot 10}2 = 45$ números.

Por lo tanto, el $46^{th}$ número inicia esta nueva secuencia en $1,$ y contando hacia adelante, vemos que el $53rd$ número es $7$ más que este, con un valor de $8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The sequence $1,2 \cdots n$ is said first after the $n^{th}$ triangular number $T_n,$ which is: $T_n = \dfrac{n(n+1)}2.$

(The triangular number $T_n$ is defined as being the sum of the numbers $1$ to $n.$ As for why it has this formula, there's a bunch of ways you can prove it using induction or arithmetic sequences. We'll leave that to you, though!)

Moving on, writing out some triangular numbers, we notice that $T_9 = 45$ is the closest triangular number less than $53.$ This means that the sequence $1,2 \cdots 9$ is first said after $T_9 = \dfrac{9\cdot 10}2 = 45$ numbers.

Therefore, the $46^{th}$ number starts this new sequence at $1,$ and counting forwards, we can see that the $53rd$ number is $7$ more than this, with a value of $8.$

Thus, the correct answer is E .

2013 AMC 10B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años