Question

La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo $30$ - $60$ - $90^\circ$ es dividida en dos segmentos de longitudes $x \lt y$ por la mediana al lado más corto del triángulo. ¿Cuál es la razón $\dfrac{x}{x + y}$ ?

The altitude to the hypotenuse of a $30$ - $60$ - $90^\circ$ right triangle is divided into two segments of lengths $x \lt y$ by the median to the shortest side of the triangle. What is the ratio $\dfrac{x}{x + y}?$

$\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{\sqrt3}{4}$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{5}{11}$

$\dfrac{4\sqrt3}{15}$

Solución:

Coloca el ángulo recto en $C = (0,0),$ el cateto corto $CB = 1$ con $B = (1, 0),$ y el cateto largo $CA = \sqrt3$ con $A = (0, \sqrt3).$ La altura desde $C$ a la hipotenusa $AB$ tiene pie $H = \left(\tfrac34, \tfrac{\sqrt3}{4}\right)$ y va a lo largo de $x = \sqrt3\,y.$ La mediana desde $A$ al punto medio $\left(\tfrac12, 0\right)$ de $CB$ corta esa altura en $\left(\tfrac37, \tfrac{\sqrt3}{7}\right).$ Esto divide $CH$ (longitud $\tfrac{\sqrt3}{2}$ ) en $\tfrac{4\sqrt3}{14}$ y $\tfrac{3\sqrt3}{14},$ así que $x = \tfrac{3\sqrt3}{14}$ y $\dfrac{x}{x + y} = \dfrac{3\sqrt3/14}{\sqrt3/2} = \dfrac{3}{7}.$ Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Place the right angle at $C = (0,0),$ the short leg $CB = 1$ with $B = (1, 0),$ and the long leg $CA = \sqrt3$ with $A = (0, \sqrt3).$ The altitude from $C$ to hypotenuse $AB$ has foot $H = \left(\tfrac34, \tfrac{\sqrt3}{4}\right)$ and runs along $x = \sqrt3\,y.$ The median from $A$ to the midpoint $\left(\tfrac12, 0\right)$ of $CB$ meets that altitude at $\left(\tfrac37, \tfrac{\sqrt3}{7}\right).$ This cuts $CH$ (length $\tfrac{\sqrt3}{2}$ ) into $\tfrac{4\sqrt3}{14}$ and $\tfrac{3\sqrt3}{14},$ so $x = \tfrac{3\sqrt3}{14}$ and $\dfrac{x}{x + y} = \dfrac{3\sqrt3/14}{\sqrt3/2} = \dfrac{3}{7}.$ Thus, A is the correct answer.

2025 AMC 10B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años