Question

En la figura de abajo, el cuadrado exterior contiene infinitos cuadrados, cada uno con el mismo centro y lados paralelos al cuadrado exterior. La razón entre la longitud del lado de un cuadrado y la longitud del lado del siguiente cuadrado interior es $k,$ donde $0 \lt k \lt 1.$ Los espacios entre cuadrados están sombreados de forma alternada, como se muestra en la figura (que no está necesariamente dibujada a escala).

El área de la porción sombreada de la figura es el $64\%$ del área del cuadrado original. ¿Cuánto vale $k$ ?

In the figure below, the outside square contains infinitely many squares, each of them with the same center and sides parallel to the outside square. The ratio of the side length of a square to the side length of the next inner square is $k,$ where $0 \lt k \lt 1.$ The spaces between squares are alternately shaded, as shown in the figure (which is not necessarily drawn to scale).

The area of the shaded portion of the figure is $64\%$ of the area of the original square. What is $k?$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{16}{25}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{4}{5}$

Solución:

Sea el lado exterior $1.$ Los cuadrados tienen lados $1, k, k^2, \ldots,$ y los anillos sombreados se alternan, así que el área sombreada es $1 - k^2 + k^4 - k^6 + \cdots = \frac{1}{1 + k^2}.$ Nos dicen que esto es igual a $64\% = \frac{16}{25},$ así que $1 + k^2 = \frac{25}{16}.$ Entonces $k^2 = \frac{9}{16},$ lo que da $k = \frac{3}{4}.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let the outer side be $1.$ The squares have sides $1, k, k^2, \ldots,$ and the shaded rings alternate, so the shaded area is $1 - k^2 + k^4 - k^6 + \cdots = \frac{1}{1 + k^2}.$ We're told this equals $64\% = \frac{16}{25},$ so $1 + k^2 = \frac{25}{16}.$ Then $k^2 = \frac{9}{16},$ giving $k = \frac{3}{4}.$ Thus, D is the correct answer.

2025 AMC 10A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años