Question

Sea $n$ un entero positivo y $d$ un dígito tales que el valor del numeral $\underline{32d}$ en base $n$ es igual a $263$ , y el valor del numeral $\underline{324}$ en base $n$ es igual al valor del numeral $\underline{11d1}$ en base seis. ¿Cuánto vale $n + d$ ?

Let $n$ be a positive integer and $d$ be a digit such that the value of the numeral $\underline{32d}$ in base $n$ equals $263,$ and the value of the numeral $\underline{324}$ in base $n$ equals the value of the numeral $\underline{11d1}$ in base six. What is $n + d ?$

$10$

$11$

$13$

$15$

$16$

Solución en video:

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Solución escrita:

La primera afirmación significa que $3n^2 + 2n+d = 263.$

De manera similar, la segunda afirmación significa que $3n^2 +2n +4$ $= 6^3 +6^2 +6d+1$ $= 253 + 6d.$

Restando estas ecuaciones obtenemos $4-d = 6d-10$ $7d = 14$ $d=2.$ Por lo tanto $3n^2 + 2n + 2 = 263$ , así que $n(3n+2) = 261$ .

Esto implica $n=9$ . Por lo tanto $n+d = 11$ .

Por lo tanto, la respuesta es B.

The first statement means $3n^2 + 2n+d = 263.$

Similarly, the second statement means $3n^2 +2n +4$ $= 6^3 +6^2 +6d+1$ $= 253 + 6d.$

Subtracting these shows us that $4-d = 6d-10$ $7d = 14$ $d=2.$ Therefore, $3n^2 + 2n + 2 = 263,$ so $n(3n+2) = 261.$

This implies $n=9.$ Therefore, $n+d = 11.$

Thus, the answer is B .

2021 AMC 10B Spring Problema 13

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Solución escrita:

El Problema 13 en otros años