Question

Cada una de $6$ bolas se pinta de negro o blanco de manera aleatoria e independiente con igual probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que cada bola tenga un color distinto al de más de la mitad de las otras $5$ bolas?

Each of $6$ balls is randomly and independently painted either black or white with equal probability. What is the probability that every ball is different in color from more than half of the other $5$ balls?

$\dfrac{1}{64}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{5}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

Solución:

Nota que, para que se cumpla esta restricción, debe haber $3$ bolas de cada color.

Hay $2^6 = 64$ maneras de colorear las bolas y $\binom{6}{3} = 20$ de elegir cuáles bolas son blancas.

La probabilidad buscada es por lo tanto $\dfrac{20}{64} = \dfrac{5}{16}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that for this restriction to hold, there must be $3$ balls of each color.

There are $2^6 = 64$ ways to color the balls and $\binom{6}{3} = 20$ to choose which balls are white.

The desired probability is therefore $\dfrac{20}{64} = \dfrac{5}{16}.$

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años