Question

¿Qué valor de $x$ hace que $8xy - 12y + 2x - 3 = 0$ sea cierto para todos los valores de $y$ ?

What value of $x$ makes $8xy - 12y + 2x - 3 = 0$ true for all values of $y?$

$\dfrac23$

$\dfrac32$ o $-\dfrac14$

$\dfrac32$ or $-\dfrac14$

$-\dfrac23$ o $-\dfrac14$

$-\dfrac23$ or $-\dfrac14$

$\dfrac32$

$-\dfrac32$ o $-\dfrac14$

$-\dfrac32$ or $-\dfrac14$

Solución:

Agrupando y factorizando, $\begin{aligned} &8xy - 12y + 2x - 3 \\ &= 4y(2x - 3) + (2x - 3) \\ &= (4y + 1)(2x - 3). \end{aligned}$

Para que esto sea igual a $0$ para todo $y,$ el factor que depende de $y$ no puede forzarse a cero, así que necesitamos $2x - 3 = 0,$ lo que da $x = \dfrac32.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Grouping and factoring, $\begin{aligned} &8xy - 12y + 2x - 3 \\ &= 4y(2x - 3) + (2x - 3) \\ &= (4y + 1)(2x - 3). \end{aligned}$

For this to equal $0$ for all $y,$ the factor that depends on $y$ cannot be forced to zero, so we need $2x - 3 = 0,$ giving $x = \dfrac32.$

Thus, the correct answer is D.

2002 AMC 10B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años