Question

Sea $\clubsuit(x)$ la suma de los dígitos del entero positivo $x.$ Por ejemplo, $\clubsuit(8)=8$ y $\clubsuit(123)=1+2+3=6.$ ¿Para cuántos valores $x$ de dos dígitos se cumple $\clubsuit(\clubsuit(x))=3$ ?

Let $\clubsuit(x)$ denote the sum of the digits of the positive integer $x.$ For example, $\clubsuit(8)=8$ and $\clubsuit(123)=1+2+3=6.$ For how many two-digit values of $x$ is $\clubsuit(\clubsuit(x))=3?$

$3$

$4$

$6$

$9$

$10$

Solución:

Sea $y=\clubsuit(x).$ Como $x\le 99,$ tenemos $y\le 18,$ así que $\clubsuit(y)=3$ obliga a $y=3$ o $y=12.$

Los números de dos dígitos con suma de dígitos $3$ son $12, 21, 30$ $(3$ de ellos $).$ Los que tienen suma de dígitos $12$ son $39, 48, 57, 66, 75, 84, 93$ $(7$ de ellos $).$ En total hay $10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $y=\clubsuit(x).$ Since $x\le 99,$ we have $y\le 18,$ so $\clubsuit(y)=3$ forces $y=3$ or $y=12.$

The two-digit numbers with digit sum $3$ are $12, 21, 30$ $(3$ of them $).$ Those with digit sum $12$ are $39, 48, 57, 66, 75, 84, 93$ $(7$ of them $).$ In all there are $10.$

Thus, the correct answer is E.

2003 AMC 10B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años