Question

设 $\clubsuit(x)$ 表示正整数 $x$ 的各位数字之和。例如 $\clubsuit(8)=8$ ， $\clubsuit(123)=1+2+3=6$ 。有多少个两位数 $x$ 满足 $\clubsuit(\clubsuit(x))=3$ ？

Let $\clubsuit(x)$ denote the sum of the digits of the positive integer $x.$ For example, $\clubsuit(8)=8$ and $\clubsuit(123)=1+2+3=6.$ For how many two-digit values of $x$ is $\clubsuit(\clubsuit(x))=3?$

$3$

$4$

$6$

$9$

$10$

答案：E

知识点：数字分类讨论系统列举

难度评级：1310

小提示：

对两位数 $x$ ，数字和 $\clubsuit(x)$ 最大为 $18$ 。

When $x$ has two digits, the digit sum $\clubsuit(x)$ is at most $18$

大提示：

当 $\clubsuit(y)=3$ 且 $y\le 18$ 时， $y=3$ 或 $y=12$ ；分别计数对应的 $x$ 。

$\clubsuit(y)=3$ with $y\le 18$ forces $y=3$ or $y=12;$ count $x$ for each

解答：

令 $y=\clubsuit(x)$ 。因为 $x\le 99$ ，所以 $y\le 18$ ；要满足 $\clubsuit(y)=3$ ，只能有 $y=3$ 或 $y=12$ 。

数字和为 $3$ 的两位数是 $12$ 、 $21$ 和 $30$ （共 $3$ 个）。数字和为 $12$ 的两位数是 $39$ 、 $48$ 、 $57$ 、 $66$ 、 $75$ 、 $84$ 和 $93$ （共 $7$ 个）。总共有 $10$ 个。

所以正确答案是 E。

Let $y=\clubsuit(x).$ Since $x\le 99,$ we have $y\le 18,$ so $\clubsuit(y)=3$ forces $y=3$ or $y=12.$

The two-digit numbers with digit sum $3$ are $12,$ $21,$ and $30$ ( $3$ of them). Those with digit sum $12$ are $39,$ $48,$ $57,$ $66,$ $75,$ $84,$ and $93$ ( $7$ of them). In all there are $10.$

Thus, the correct answer is E.

2003 AMC 10B 第 13 题

答案：E

难度评级：1310

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题