2003 AMC 10B 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

下列哪一项等于

$\dfrac{2-4+6-8+10-12+14}{3-6+9-12+15-18+21}\text{？}$

Which of the following is the same as

$\dfrac{2-4+6-8+10-12+14}{3-6+9-12+15-18+21}?$

$-1$

$-\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{2}{3}$

$1$

$\dfrac{14}{3}$

知识点：分数分配律

难度评级：660

小提示：

从分子中提出 $2$ ，从分母中提出 $3$ 。

Factor a $2$ out of the numerator and a $3$ out of the denominator

大提示：

二者都有因子 $1-2+3-4+5-6+7$ 。

Both share the factor $1-2+3-4+5-6+7$

解答：

因式分解得 $\dfrac{2(1-2+3-4+5-6+7)}{3(1-2+3-4+5-6+7)}\text{。}$ 分子、分母中相同的交错和约去后，剩下 $\dfrac{2}{3}$ 。

所以正确答案是 C。

Factoring gives $\dfrac{2(1-2+3-4+5-6+7)}{3(1-2+3-4+5-6+7)}.$ The identical alternating sums cancel, leaving $\dfrac{2}{3}.$

Thus, the correct answer is C.

2.

阿尔患上了“代数病”（algebritis），每天必须服用一颗绿色药丸和一颗粉色药丸，持续两周。绿色药丸比粉色药丸贵 $\$1$ ，两周的药丸总费用为 $\$546$ 。一颗绿色药丸多少钱？

Al gets the disease algebritis and must take one green pill and one pink pill each day for two weeks. A green pill costs $\$1$ more than a pink pill, and Al’s pills cost a total of $\$546$ for the two weeks. How much does one green pill cost?

$\$7$

$\$14$

$\$19$

$\$20$

$\$39$

知识点：钱币一次方程

难度评级：830

小提示：

两周是 $14$ 天，先求一天的药丸费用。

Two weeks is $14$ days, so find the cost of one day’s pills

大提示：

若粉色药丸价格为 $p$ ，则绿色药丸价格为 $p+1$ ，且 $p+(p+1)=39$ 。

If a pink pill costs $p,$ then the green pill costs $p+1$ and $p+(p+1)=39$

解答：

每天药丸费用为 $546 \div 14 = 39$ 美元。设绿色药丸价格为 $x$ ，则粉色药丸价格为 $x-1$ ，所以 $x+(x-1)=39$ ，解得 $x=20$ 。

所以正确答案是 D。

Each day’s pills cost $546 \div 14 = 39$ dollars. If $x$ is the cost of a green pill, then the pink pill costs $x-1,$ so $x+(x-1)=39.$ Solving gives $x=20.$

Thus, the correct answer is D.

3.

$5$ 个连续偶数的和比前 $8$ 个连续正奇数的和少 $4$ 。这些偶数中最小的是多少？

The sum of $5$ consecutive even integers is $4$ less than the sum of the first $8$ consecutive odd counting numbers. What is the smallest of the even integers?

$6$

$8$

$10$

$12$

$14$

知识点：求和一次方程

难度评级：880

小提示：

前 $8$ 个正奇数的和为 $8^2$ 。

The first $8$ odd counting numbers sum to $8^2$

大提示：

将这些偶数写成 $n$ 、 $n+2$ 、 $n+4$ 、 $n+6$ 、 $n+8$ ，并令它们的和等于 $64-4$ 。

Write the even integers as $n,$ $n+2,$ $n+4,$ $n+6,$ $n+8$ and set their sum equal to $64-4$

解答：

前 $8$ 个正奇数的和是 $1+3+\cdots+15=64$ 。

设最小偶数为 $n$ ，则 $\begin{gathered} n+(n+2)+(n+4) \\ {}+(n+6)+(n+8) \\ = 5n+20 = 60 \end{gathered}\text{，}$ 因此 $n=8$ 。

所以正确答案是 B。

The first $8$ odd counting numbers sum to $1+3+\cdots+15=64.$

Letting $n$ be the smallest even integer, $\begin{gathered} n+(n+2)+(n+4) \\ {}+(n+6)+(n+8) \\ = 5n+20 = 60, \end{gathered}$ so $n=8.$

Thus, the correct answer is B.

4.

罗斯用不同种类的花填满她的长方形花坛中的每个长方形区域。图中给出了这些长方形区域的边长，单位为英尺。她在每个区域每平方英尺种一朵花。紫菀每朵 $\$1$ ，秋海棠每朵 $\$1.50$ ，美人蕉每朵 $\$2$ ，大丽花每朵 $\$2.50$ ，复活节百合每朵 $\$3$ 。她的花园最少可能花多少钱？

Rose fills each of the rectangular regions of her rectangular flower bed with a different type of flower. The lengths, in feet, of the rectangular regions in her flower bed are as shown in the figure. She plants one flower per square foot in each region. Asters cost $\$1$ each, begonias $\$1.50$ each, cannas $\$2$ each, dahlias $\$2.50$ each, and Easter lilies $\$3$ each. What is the least possible cost, in dollars, for her garden?

$108$

$115$

$132$

$144$

$156$

知识点：面积最优化配对与分组

难度评级：1070

小提示：

先求出五个区域各自的面积。

Find the area of each of the five regions first

大提示：

为了使费用最小，把最贵的花种在最小的区域。

To minimize cost, plant the most expensive flower in the smallest region

解答：

五个区域的面积分别为 $4$ 、 $6$ 、 $15$ 、 $20$ 和 $21$ 平方英尺。

要使费用最小，应把最贵的花种在最小的区域，所以总费用为 $\begin{gathered} (3)(4)+(2.5)(6)+(2)(15) \\ {}+(1.5)(20)+(1)(21) \\ = 108 \end{gathered}\text{。}$

所以正确答案是 A。

The five regions have areas $4,$ $6,$ $15,$ $20,$ and $21$ square feet.

Cost is minimized by placing the most expensive flower in the smallest region, so the total is $\begin{gathered} (3)(4)+(2.5)(6)+(2)(15) \\ {}+(1.5)(20)+(1)(21) \\ = 108. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is A.

5.

莫用割草机修剪一个 $90$ 英尺乘 $150$ 英尺的长方形草坪。割草机每次割出的宽度为 $28$ 英寸，但为了不漏草，他每次重叠 $4$ 英寸。他推割草机时的速度为每小时 $5000$ 英尺。下列哪个数最接近他割完整个草坪所需的小时数？

Moe uses a mower to cut his rectangular $90$ -foot by $150$ -foot lawn. The swath he cuts is $28$ inches wide, but he overlaps each cut by $4$ inches to make sure that no grass is missed. He walks at the rate of $5000$ feet per hour while pushing the mower. Which of the following is closest to the number of hours it will take Moe to mow his lawn?

$0.75$

$0.8$

$1.35$

$1.5$

$3$

知识点：单位换算速率面积

难度评级：1100

小提示：

有效割草宽度为 $28-4=24$ 英寸，即 $2$ 英尺。

The effective swath width is $28-4=24$ inches, which is $2$ feet

大提示：

用草坪面积除以莫每小时割草面积。

Divide the lawn’s area by the area Moe mows per hour

解答：

草坪面积为 $90 \cdot 150 = 13{,}500$ 平方英尺。

莫每走一英尺，有效割草宽度为 $2$ 英尺，所以每小时割草面积为 $2 \cdot 5000 = 10{,}000$ 平方英尺。因此所需时间为 $\dfrac{13{,}500}{10{,}000}=1.35$ 小时。

所以正确答案是 C。

The lawn has area $90 \cdot 150 = 13{,}500$ square feet.

Each foot Moe walks mows an effective strip $2$ feet wide, so he mows $2 \cdot 5000 = 10{,}000$ square feet per hour. The time needed is $\dfrac{13{,}500}{10{,}000}=1.35$ hours.

Thus, the correct answer is C.

6.

许多电视屏幕是长方形，并用对角线长度来标记尺寸。标准电视屏幕的水平长度与高度之比为 $4 : 3$ 。一台“ $27$ 英寸”电视的水平长度最接近下列多少英寸？

Many television screens are rectangles that are measured by the length of their diagonals. The ratio of the horizontal length to the height in a standard television screen is $4 : 3.$ The horizontal length of a “ $27$ -inch” television screen is closest, in inches, to which of the following?

$20$

$20.5$

$21$

$21.5$

$22$

知识点：勾股数比与比例

难度评级：1000

小提示：

长、宽和对角线的比例为 $4 : 3 : 5$ 。

The length, height, and diagonal are in the ratio $4 : 3 : 5$

大提示：

对角线对应 $5$ 份且等于 $27$ ，所以水平长度是 $27$ 的 $\tfrac{4}{5}$ 。

The diagonal corresponds to $5$ parts and equals $27,$ so the length is $\tfrac{4}{5}$ of $27$

解答：

因为长高比为 $4:3$ ，长、高、对角线组成 $4:3:5$ 的直角三角形。对角线长为 $27$ ，所以水平长度为 $\dfrac{4}{5}(27)=21.6\text{，}$ 最接近 $21.5$ 。

所以正确答案是 D。

Since the length and height are in ratio $4:3,$ the length, height, and diagonal form a $4:3:5$ right triangle. The diagonal is $27,$ so the horizontal length is $\dfrac{4}{5}(27)=21.6,$ which is closest to $21.5.$

Thus, the correct answer is D.

7.

符号 $\lfloor x \rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。例如 $\lfloor 3 \rfloor = 3$ ， $\lfloor \frac{9}{2} \rfloor = 4$ 。计算 $\begin{gathered} \lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor \\ {}+ \cdots + \lfloor \sqrt{16} \rfloor \end{gathered}\text{。}$

The symbolism $\lfloor x \rfloor$ denotes the largest integer not exceeding $x.$ For example, $\lfloor 3 \rfloor = 3,$ and $\lfloor \frac{9}{2} \rfloor = 4.$ Compute $\begin{gathered} \lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor \\ {}+ \cdots + \lfloor \sqrt{16} \rfloor. \end{gathered}$

$35$

$38$

$40$

$42$

$136$

知识点：取整函数完全平方数求和

难度评级：1170

小提示：

当且仅当 $k^2 \le n \lt (k+1)^2$ 时， $\lfloor \sqrt{n} \rfloor = k$ 。

$\lfloor \sqrt{n} \rfloor = k$ exactly when $k^2 \le n \lt (k+1)^2$

大提示：

分别数出 $1$ 到 $16$ 中有多少个给出 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 和 $4$ 这几个取整值。

Count how many of $1$ through $16$ give each floor value $1,$ $2,$ $3,$ and $4$

解答：

当 $n=1,2,3$ 时，取整值为 $1$ ；当 $n=4,\ldots,8$ 时，取整值为 $2$ ；当 $n=9,\ldots,15$ 时，取整值为 $3$ ；当 $n=16$ 时，取整值为 $4$ 。因此总和为 $3\cdot 1 + 5\cdot 2 + 7\cdot 3 + 1\cdot 4 = 38\text{。}$

所以正确答案是 B。

The value is $1$ for $n=1,2,3;$ it is $2$ for $n=4,\ldots,8;$ it is $3$ for $n=9,\ldots,15;$ and it is $4$ for $n=16.$ The sum is $3\cdot 1 + 5\cdot 2 + 7\cdot 3 + 1\cdot 4 = 38.$

Thus, the correct answer is B.

8.

一个等比数列的第二项和第四项分别为 $2$ 和 $6$ 。下列哪个数可能是第一项？

The second and fourth terms of a geometric sequence are $2$ and $6.$ Which of the following is a possible first term?

$-\sqrt{3}$

$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{3}$

$3$

知识点：等比数列根式

难度评级：1140

小提示：

第四项除以第二项得到 $r^2$ 。

Dividing the fourth term by the second term gives $r^2$

大提示：

由 $ar=2$ ，第一项为 $a=\dfrac{2}{r}$ ，而 $r$ 可以为负。

With $ar=2,$ the first term is $a=\dfrac{2}{r},$ and $r$ may be negative

解答：

设数列为 $a$ 、 $ar$ 、 $ar^2$ 、 $ar^3$ 、 $\dots$ ，其中 $ar=2$ 且 $ar^3=6$ 。相除得 $r^2=3$ ，所以 $r=\pm\sqrt3$ 。

于是 $a=\dfrac{2}{r}=\pm\dfrac{2}{\sqrt3}=\pm\dfrac{2\sqrt3}{3}$ 。选项中对应的负值是 $-\dfrac{2\sqrt3}{3}$ 。

所以正确答案是 B。

Let the terms be $a,$ $ar,$ $ar^2,$ $ar^3,$ $\dots$ with $ar=2$ and $ar^3=6.$ Dividing gives $r^2=3,$ so $r=\pm\sqrt3.$

Then $a=\dfrac{2}{r}=\pm\dfrac{2}{\sqrt3}=\pm\dfrac{2\sqrt3}{3}.$ The choice $-\dfrac{2\sqrt3}{3}$ matches the negative case.

Thus, the correct answer is B.

9.

求满足下列方程的 $x$ ：

$25^{-2} = \dfrac{5^{\frac{48}{x}}}{5^{\frac{26}{x}} \cdot 25^{\frac{17}{x}}}\text{。}$

Find the value of $x$ that satisfies the equation

$25^{-2} = \dfrac{5^{\frac{48}{x}}}{5^{\frac{26}{x}} \cdot 25^{\frac{17}{x}}}.$

$2$

$3$

$5$

$6$

$9$

知识点：指数代数变形

难度评级：1070

小提示：

将每一项都改写成以 $5$ 为底的幂。

Rewrite every term as a power of $5$

大提示：

右边变为 $5^{\frac{48-26-34}{x}}$ ；令指数等于 $-4$ 。

The right side becomes $5^{\frac{48-26-34}{x}};$ set the exponent equal to $-4$

解答：

全部写成以 $5$ 为底的幂，左边是 $5^{-4}$ ，右边是 $5^{\frac{48-26-34}{x}}=5^{-\frac{12}{x}}\text{。}$ 令指数相等，得到 $-4=-\dfrac{12}{x}$ ，所以 $x=3$ 。

所以正确答案是 B。

Writing everything base $5,$ the left side is $5^{-4}$ and the right side is $5^{\frac{48-26-34}{x}}=5^{-\frac{12}{x}}.$ Setting exponents equal, $-4=-\dfrac{12}{x},$ so $x=3.$

Thus, the correct answer is B.

10.

AMC 所在的内布拉斯加州改变了车牌方案。旧车牌由一个字母后接四个数字组成；新车牌由三个字母后接三个数字组成。可能的车牌数量增加为原来的多少倍？

Nebraska, the home of the AMC, changed its license plate scheme. Each old license plate consisted of a letter followed by four digits. Each new license plate consists of three letters followed by three digits. By how many times is the number of possible license plates increased?

$\dfrac{26}{10}$

$\dfrac{26^2}{10^2}$

$\dfrac{26^2}{10}$

$\dfrac{26^3}{10^3}$

$\dfrac{26^3}{10^2}$

知识点：乘法原理比与比例

难度评级：1170

小提示：

用乘法原理分别计算两种方案的车牌数。

Count the plates in each scheme using the multiplication principle

大提示：

用新方案数量 $26^3 \cdot 10^3$ 除以旧方案数量 $26 \cdot 10^4$ 。

Divide the new count $26^3 \cdot 10^3$ by the old count $26 \cdot 10^4$

解答：

旧方案有 $26 \cdot 10^4$ 种车牌，新方案有 $26^3 \cdot 10^3$ 种。增加倍数为 $\dfrac{26^3 \cdot 10^3}{26 \cdot 10^4}=\dfrac{26^2}{10}\text{。}$

所以正确答案是 C。

The old scheme allows $26 \cdot 10^4$ plates and the new scheme allows $26^3 \cdot 10^3$ plates. The increase factor is $\dfrac{26^3 \cdot 10^3}{26 \cdot 10^4}=\dfrac{26^2}{10}.$

Thus, the correct answer is C.

11.

一条斜率为 $3$ 的直线与一条斜率为 $5$ 的直线交于点 $(10, 15)$ 。这两条直线的 $x$ 轴截距之间的距离是多少？

A line with slope $3$ intersects a line with slope $5$ at the point $(10, 15).$ What is the distance between the $x$ -intercepts of these two lines?

$2$

$5$

$7$

$12$

$20$

知识点：坐标几何斜率一次方程

难度评级：1240

小提示：

分别写出过 $(10, 15)$ 的点斜式方程。

Write each line in point-slope form through $(10, 15)$

大提示：

在每个方程中令 $y=0$ ，求它们与 $x$ 轴的交点。

Set $y=0$ in each equation to find where they cross the $x$ -axis

解答：

两条直线分别为 $y-15=3(x-10)$ 和 $y-15=5(x-10)$ 。

令 $y=0$ ，得到 $x$ 轴截距分别为 $x=5$ 和 $x=7$ 。两点 $(5,0)$ 与 $(7,0)$ 的距离为 $2$ 。

所以正确答案是 A。

The lines are $y-15=3(x-10)$ and $y-15=5(x-10).$

Setting $y=0$ gives $x$ -intercepts $x=5$ and $x=7.$ The distance between $(5,0)$ and $(7,0)$ is $2.$

Thus, the correct answer is A.

12.

阿尔、贝蒂和克莱尔将 $\$1000$ 分给三人并以不同方式投资。三人起始金额各不相同。一年后他们总共有 $\$1500$ 。贝蒂和克莱尔的钱都翻倍了，而阿尔亏了 $\$100$ 。阿尔原来分到多少钱？

Al, Betty, and Clare split $\$1000$ among them to be invested in different ways. Each begins with a different amount. At the end of one year they have a total of $\$1500.$ Betty and Clare have both doubled their money, whereas Al has managed to lose $\$100.$ What was Al’s original portion?

$\$250$

$\$350$

$\$400$

$\$450$

$\$500$

知识点：方程组钱币

难度评级：1240

小提示：

设阿尔、贝蒂和克莱尔的起始金额分别为 $a$ 、 $b$ 和 $c$ ，则 $a+b+c=1000$ 。

Let Al, Betty, and Clare start with $a,$ $b,$ and $c,$ so $a+b+c=1000$

大提示：

最终总额为 $(a-100)+2(b+c)=1500$ ；代入 $b+c=1000-a$ 。

The final total is $(a-100)+2(b+c)=1500;$ substitute $b+c=1000-a$

解答：

设三人的原始金额分别为 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 。则 $a+b+c=1000$ ，且 $(a-100)+2(b+c)=1500$ 。

将 $b+c=1000-a$ 代入第二个方程，得到 $a-100+2(1000-a)=1500\text{，}$ 所以 $a=400$ 。

所以正确答案是 C。

Let $a,$ $b,$ and $c$ be the original portions. Then $a+b+c=1000$ and $(a-100)+2(b+c)=1500.$

Substituting $b+c=1000-a$ into the second equation, $a-100+2(1000-a)=1500,$ so $a=400.$

Thus, the correct answer is C.

13.

设 $\clubsuit(x)$ 表示正整数 $x$ 的各位数字之和。例如 $\clubsuit(8)=8$ ， $\clubsuit(123)=1+2+3=6$ 。有多少个两位数 $x$ 满足 $\clubsuit(\clubsuit(x))=3$ ？

Let $\clubsuit(x)$ denote the sum of the digits of the positive integer $x.$ For example, $\clubsuit(8)=8$ and $\clubsuit(123)=1+2+3=6.$ For how many two-digit values of $x$ is $\clubsuit(\clubsuit(x))=3?$

$3$

$4$

$6$

$9$

$10$

知识点：数字分类讨论系统列举

难度评级：1310

小提示：

对两位数 $x$ ，数字和 $\clubsuit(x)$ 最大为 $18$ 。

When $x$ has two digits, the digit sum $\clubsuit(x)$ is at most $18$

大提示：

当 $\clubsuit(y)=3$ 且 $y\le 18$ 时， $y=3$ 或 $y=12$ ；分别计数对应的 $x$ 。

$\clubsuit(y)=3$ with $y\le 18$ forces $y=3$ or $y=12;$ count $x$ for each

解答：

令 $y=\clubsuit(x)$ 。因为 $x\le 99$ ，所以 $y\le 18$ ；要满足 $\clubsuit(y)=3$ ，只能有 $y=3$ 或 $y=12$ 。

数字和为 $3$ 的两位数是 $12$ 、 $21$ 和 $30$ （共 $3$ 个）。数字和为 $12$ 的两位数是 $39$ 、 $48$ 、 $57$ 、 $66$ 、 $75$ 、 $84$ 和 $93$ （共 $7$ 个）。总共有 $10$ 个。

所以正确答案是 E。

Let $y=\clubsuit(x).$ Since $x\le 99,$ we have $y\le 18,$ so $\clubsuit(y)=3$ forces $y=3$ or $y=12.$

The two-digit numbers with digit sum $3$ are $12,$ $21,$ and $30$ ( $3$ of them). Those with digit sum $12$ are $39,$ $48,$ $57,$ $66,$ $75,$ $84,$ and $93$ ( $7$ of them). In all there are $10.$

Thus, the correct answer is E.

14.

已知 $3^8 \cdot 5^2 = a^b$ ，其中 $a$ 和 $b$ 都是正整数。求 $a+b$ 的最小可能值。

Given that $3^8 \cdot 5^2 = a^b,$ where both $a$ and $b$ are positive integers, find the smallest possible value for $a+b.$

$25$

$34$

$351$

$407$

$900$

知识点：质因数分解完全幂最优化

难度评级：1390

小提示：

因为这个数被 $5^2$ 整除但不被 $5^3$ 整除，所以 $b$ 最大只能是 $2$ 。

Since $5^2$ but not $5^3$ divides the number, $b$ can be at most $2$

大提示：

$b$ 越大， $a$ 越小；试 $b=2$ ，把这个数写成完全平方。

The larger $b$ is, the smaller $a$ becomes; try $b=2$ and write the number as a perfect square

解答：

因为 $a$ 必须含因子 $5$ ，而 $3^8 \cdot 5^2$ 被 $5^2$ 整除但不被 $5^3$ 整除，所以 $b\le 2$ 。

取 $b=2$ ，得 $a=\sqrt{3^8 \cdot 5^2}=3^4 \cdot 5=405$ ，因此 $a+b=407$ 。若 $b=1$ ，则 $a+b=164{,}026$ ，更大。

所以正确答案是 D。

Because $a$ must be divisible by $5,$ and $3^8 \cdot 5^2$ is divisible by $5^2$ but not $5^3,$ we need $b\le 2.$

Taking $b=2$ gives $a=\sqrt{3^8 \cdot 5^2}=3^4 \cdot 5=405,$ so $a+b=407.$ This beats $b=1,$ which gives $a+b=164{,}026.$

Thus, the correct answer is D.

15.

一场单打网球锦标赛有 $100$ 名选手。比赛采用单败淘汰制，即输一场就被淘汰。第一轮中最强的 $28$ 名选手轮空，其余 $72$ 名选手配对比赛。之后每轮剩余选手继续比赛，直到只剩一名未败选手。总比赛场数

There are $100$ players in a singles tennis tournament. The tournament is single elimination, meaning that a player who loses a match is eliminated. In the first round, the strongest $28$ players are given a bye, and the remaining $72$ players are paired off to play. After each round, the remaining players play in the next round. The match continues until only one player remains unbeaten. The total number of matches played is

是质数

a prime number

能被 $2$ 整除

divisible by $2$

能被 $5$ 整除

divisible by $5$

能被 $7$ 整除

divisible by $7$

能被 $11$ 整除

divisible by $11$

知识点：基本计数不变量

难度评级：1280

小提示：

每场比赛正好淘汰一名选手。

Each match eliminates exactly one player

大提示：

除冠军外所有人都会被淘汰，所以数被淘汰的人数即可。

All but the champion are eliminated, so count the number of eliminated players

解答：

每场比赛淘汰一名选手。共有 $100$ 名选手开始，除冠军外都被淘汰，所以有 $99$ 场比赛。

因为 $99=9 \cdot 11$ ，所以比赛场数能被 $11$ 整除，而其他选项都不满足。

所以正确答案是 E。

Each match eliminates exactly one player. Since $100$ players start and all but the champion are eliminated, there are $99$ matches.

Because $99=9 \cdot 11,$ it is divisible by $11$ but satisfies none of the other options.

Thus, the correct answer is E.

16.

一家餐厅提供三种甜点，前菜数量正好是主菜数量的两倍。一顿晚餐由一道前菜、一道主菜和一道甜点组成。餐厅至少应提供多少种主菜，才能让顾客在 $2003$ 年每天晚上都吃不同的晚餐？

A restaurant offers three desserts, and exactly twice as many appetizers as main courses. A dinner consists of an appetizer, a main course, and a dessert. What is the least number of main courses that the restaurant should offer so that a customer could have a different dinner each night in the year $2003?$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

知识点：乘法原理不等式

难度评级：1370

小提示：

若有 $m$ 种主菜，则有 $2m$ 种前菜，总晚餐数为 $3 \cdot m \cdot 2m$ 。

With $m$ main courses there are $2m$ appetizers, giving $3 \cdot m \cdot 2m$ dinners

大提示：

$2003$ 年不是闰年，所以需要 $6m^2 \ge 365$ 。

The year $2003$ is not a leap year, so require $6m^2 \ge 365$

解答：

若有 $m$ 种主菜，则前菜种数是主菜的两倍，晚餐总数为 $3 \cdot m \cdot 2m = 6m^2$ 。这个数至少需要达到 $365$ 。

$m^2 \ge \dfrac{365}{6}\approx 60.8$ 。因为 $7^2=49$ 太小，而 $8^2=64$ 可行，所以 $m=8$ 。

所以正确答案是 E。

With $m$ main courses, the number of dinners is $3 \cdot m \cdot 2m = 6m^2.$ This must be at least $365.$

So $m^2 \ge \dfrac{365}{6}\approx 60.8.$ Since $7^2=49$ is too small but $8^2=64$ works, $m=8.$

Thus, the correct answer is E.

17.

一个冰淇淋蛋筒由一个香草冰淇淋球和一个直圆锥组成，圆锥直径与球的直径相同。若冰淇淋融化后正好装满圆锥，并假设融化后冰淇淋体积是冷冻时体积的 $75\%$ ，则圆锥高与半径之比是多少？（注：半径为 $r$ 、高为 $h$ 的圆锥体积为 $\frac{\pi r^2 h}{3}$ ，半径为 $r$ 的球体积为 $\frac{4\pi r^3}{3}$ 。）

An ice cream cone consists of a sphere of vanilla ice cream and a right circular cone that has the same diameter as the sphere. If the ice cream melts, it will exactly fill the cone. Assume that the melted ice cream occupies $75\%$ of the volume of the frozen ice cream. What is the ratio of the cone’s height to its radius? (Note: A cone with radius $r$ and height $h$ has volume $\frac{\pi r^2 h}{3},$ and a sphere with radius $r$ has volume $\frac{4\pi r^3}{3}.$ )

$2 : 1$

$3 : 1$

$4 : 1$

$16 : 3$

$6 : 1$

知识点：体积球圆锥

难度评级：1370

小提示：

圆锥和球有相同的半径 $r$ 。

The cone and sphere share the same radius $r$

大提示：

令 $\tfrac34 \cdot \tfrac43 \pi r^3$ 等于圆锥体积 $\tfrac13 \pi r^2 h$ 。

Set $\tfrac34 \cdot \tfrac43 \pi r^3$ equal to the cone volume $\tfrac13 \pi r^2 h$

解答：

融化后的体积等于圆锥体积，所以 $\dfrac34 \cdot \dfrac43 \pi r^3 = \dfrac13 \pi r^2 h\text{。}$

化简得 $\pi r^3 = \dfrac13 \pi r^2 h$ ，所以 $h=3r$ ，高与半径之比为 $3:1$ 。

所以正确答案是 B。

The melted volume equals the cone’s volume, so $\dfrac34 \cdot \dfrac43 \pi r^3 = \dfrac13 \pi r^2 h.$

Simplifying gives $\pi r^3 = \dfrac13 \pi r^2 h,$ so $h=3r.$ The ratio of height to radius is $3:1.$

Thus, the correct answer is B.

18.

能整除下式的最大整数是多少？

$\begin{aligned} &(n+1)(n+3)(n+5) \\ &\quad {}\cdot (n+7)(n+9) \end{aligned}$

其中 $n$ 为任意正偶数。

What is the largest integer that is a divisor of

$\begin{aligned} &(n+1)(n+3)(n+5) \\ &\quad {}\cdot (n+7)(n+9) \end{aligned}$

for all positive even integers $n?$

$3$

$5$

$11$

$15$

$165$

知识点：整除性最大公约数

难度评级：1480

小提示：

当 $n$ 为偶数时，五个因数是连续的五个奇数。

When $n$ is even, the five factors are consecutive odd numbers

大提示：

连续五个奇数中有一个是 $3$ 的倍数，有一个是 $5$ 的倍数；再检查没有更大的因数总是成立。

Among five consecutive odd numbers one is a multiple of $3$ and one of $5;$ check no larger factor always works

解答：

当 $n$ 为偶数时，这五个因数是连续五个奇数。其中至少有一个能被 $3$ 整除，且恰有一个能被 $5$ 整除，所以乘积总能被 $15$ 整除。

要证明不存在更大的固定公因数，比较以下三种情形： $\begin{aligned} n=2 &: 3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11,\\ n=10 &: 11\cdot13\cdot15\cdot17\cdot19,\\ n=12 &: 13\cdot15\cdot17\cdot19\cdot21 \end{aligned}\text{。}$ 这三个乘积的最大公因数恰为 $15$ ，所以能整除所有情形的整数不可能更大。

所以正确答案是 D。

When $n$ is even, the factors are five consecutive odd numbers. Among any five consecutive odd numbers, at least one is divisible by $3$ and exactly one by $5,$ so the product is always divisible by $15.$

To prove that no larger fixed divisor is forced, compare three cases: $\begin{aligned} n=2 &: 3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11,\\ n=10 &: 11\cdot13\cdot15\cdot17\cdot19,\\ n=12 &: 13\cdot15\cdot17\cdot19\cdot21. \end{aligned}$ The greatest common divisor of these three products is exactly $15,$ so a divisor common to every case cannot be any larger.

Thus, the correct answer is D.

19.

在半径为 $2$ 的半圆的直径 $\overline{AB}$ 上构造三个半径为 $1$ 的半圆。小半圆的圆心将 $\overline{AB}$ 分成四段相等的线段，如图所示。位于大半圆内部且在较小半圆外部的阴影区域面积是多少？

Three semicircles of radius $1$ are constructed on diameter $\overline{AB}$ of a semicircle of radius $2.$ The centers of the small semicircles divide $\overline{AB}$ into four line segments of equal length, as shown. What is the area of the shaded region that lies within the large semicircle but outside the smaller semicircles?

$\pi - \sqrt{3}$

$\pi - \sqrt{2}$

$\dfrac{\pi + \sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\pi + \sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{7}{6}\pi - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

知识点：圆面积扇形等边三角形面积分割

难度评级：1630

小提示：

从大半圆面积 $\tfrac12 \pi (2)^2 = 2\pi$ 开始。

Start with the large semicircle’s area $\tfrac12 \pi (2)^2 = 2\pi$

大提示：

相邻小半圆的重叠部分涉及 $60^\circ$ 扇形和等边三角形。

The overlaps of adjacent small semicircles are $60^\circ$ sectors plus equilateral triangles

解答：

大半圆面积为 $\dfrac12 \pi (2)^2 = 2\pi$ 。

删去的部分等于五个半径为 $1$ 的 $60^\circ$ 扇形和两个边长为 $1$ 的等边三角形；每个扇形面积为 $\dfrac{\pi}{6}$ ，每个等边三角形面积为 $\dfrac{\sqrt3}{4}$ 。

阴影面积为 $\begin{gathered} 2\pi - 5 \cdot \dfrac{\pi}{6} - 2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4} \\ = \dfrac{7}{6}\pi - \dfrac{\sqrt3}{2} \end{gathered}\text{。}$

所以正确答案是 E。

The large semicircle has area $\dfrac12 \pi (2)^2 = 2\pi.$

Removing the small semicircles deletes a region equal to five congruent $60^\circ$ sectors of radius $1$ plus two equilateral triangles of side $1.$ Each sector has area $\dfrac{\pi}{6}$ and each triangle has area $\dfrac{\sqrt3}{4}.$

The shaded area is $\begin{gathered} 2\pi - 5 \cdot \dfrac{\pi}{6} - 2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4} \\ = \dfrac{7}{6}\pi - \dfrac{\sqrt3}{2}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is E.

20.

在长方形 $ABCD$ 中， $AB=5$ 、 $BC=3$ 。点 $F$ 和 $G$ 在 $\overline{CD}$ 上，且 $DF=1$ 、 $GC=2$ 。直线 $AF$ 和 $BG$ 交于 $E$ 。求 $\triangle AEB$ 的面积。

In rectangle $ABCD,$ $AB=5$ and $BC=3.$ Points $F$ and $G$ are on $\overline{CD}$ so that $DF=1$ and $GC=2.$ Lines $AF$ and $BG$ intersect at $E.$ Find the area of $\triangle AEB.$

$10$

$\dfrac{21}{2}$

$12$

$\dfrac{25}{2}$

$15$

知识点：相似三角形面积矩形

难度评级：1480

小提示：

计算 $FG = CD - DF - GC$ 。

Compute $FG = CD - DF - GC$

大提示：

由 $\triangle FEG \sim \triangle AEB$ ，用比例 $\tfrac{FG}{AB}$ 求点 $E$ 的高度。

$\triangle FEG \sim \triangle AEB;$ use the ratio $\tfrac{FG}{AB}$ to locate the height of $E$

解答：

先计算 $FG = CD - DF - GC$ $= 5 - 1 - 2$ $= 2$ 。设 $E$ 到直线 $CD$ 的距离为 $h$ 。由于 $\triangle FEG \sim \triangle AEB$ ，相似比为 $\dfrac{FG}{AB}=\dfrac25$ ，所以 $\dfrac{h}{h+3}=\dfrac25\text{，}$ 解得 $h=2$ 。

$\triangle AEB$ 从 $E$ 到 $AB$ 的高为 $h+3=5$ ，所以面积为 $\dfrac12 \cdot 5 \cdot 5 = \dfrac{25}{2}$ 。

所以正确答案是 D。

Here $FG = CD - DF - GC$ $= 5 - 1 - 2$ $= 2.$ Let $h$ be the distance from $E$ down to line $CD.$ Since $\triangle FEG \sim \triangle AEB$ with ratio $\dfrac{FG}{AB}=\dfrac25,$ we have $\dfrac{h}{h+3}=\dfrac25,$ so $h=2.$

The height of $\triangle AEB$ from $E$ to $AB$ is $h+3=5,$ giving area $\dfrac12 \cdot 5 \cdot 5 = \dfrac{25}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

21.

一个袋子里有两颗红珠和两颗绿珠。每次从袋中取出一颗珠子，不论取出的是什么颜色，都放回一颗红珠。这样替换三次后，袋中所有珠子都是红色的概率是多少？

A bag contains two red beads and two green beads. You reach into the bag and pull out a bead, replacing it with a red bead regardless of the color you pulled out. What is the probability that all beads in the bag are red after three such replacements?

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{5}{32}$

$\dfrac{9}{32}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{7}{16}$

知识点：基本概率分类讨论

难度评级：1600

小提示：

最终全为红色，当且仅当三次抽取中两颗绿珠都被抽到。

All beads are red exactly when both green beads are drawn during the three draws

大提示：

分别计算抽取序列 GG、GRG、RGG 的概率，并跟踪袋中珠子数变化。

Add the probabilities of the draw sequences GG, GRG, and RGG, tracking how the counts change

解答：

袋中始终有 $4$ 颗珠子。

最终全为红色，正好表示两颗绿珠都被抽到。先绿后绿的概率为 $\dfrac24 \cdot \dfrac14 = \dfrac18$ 。绿、红、绿的概率为 $\dfrac24 \cdot \dfrac34 \cdot \dfrac14 = \dfrac{3}{32}$ 。红、绿、绿的概率为 $\dfrac24 \cdot \dfrac24 \cdot \dfrac14 = \dfrac{1}{16}$ 。

把三种情况相加，得到 $\dfrac18 + \dfrac{3}{32} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{9}{32}\text{。}$

所以正确答案是 C。

The bag always holds $4$ beads. All are red at the end precisely when both greens are drawn.

Drawing green then green has probability $\dfrac24 \cdot \dfrac14 = \dfrac18.$ Green, red, green has probability $\dfrac24 \cdot \dfrac34 \cdot \dfrac14 = \dfrac{3}{32}.$ Red, green, green has probability $\dfrac24 \cdot \dfrac24 \cdot \dfrac14 = \dfrac{1}{16}.$

The total is $\dfrac18 + \dfrac{3}{32} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{9}{32}.$

Thus, the correct answer is C.

22.

一座钟每小时过 $30$ 分钟时敲一次，整点时按小时数敲钟。例如下午 $1$ 点敲一次，中午和午夜都敲十二次。从 $2003$ 年二月 $26$ 日上午 $11{:}15$ 开始，第 $2003$ 次钟声会发生在哪一天？

A clock chimes once at $30$ minutes past each hour and chimes on the hour according to the hour. For example, at $1$ PM there is one chime and at noon and midnight there are twelve chimes. Starting at $11{:}15$ AM on February $26,$ $2003,$ on what date will the $2003$ rd chime occur?

三月 $8$ 日

March $8$

三月 $9$ 日

March $9$

三月 $10$ 日

March $10$

三月 $20$ 日

March $20$

三月 $21$ 日

March $21$

知识点：日期与时间求和过程模拟

难度评级：1690

小提示：

每 $12$ 小时有 $12$ 次半点钟声和 $1+2+\cdots+12=78$ 次整点钟声。

In each $12$ -hour period there are $12$ half-hour chimes and $1+2+\cdots+12=78$ hour chimes

大提示：

一整天有 $180$ 次钟声；从二月 $26$ 日上午 $11{:}15$ 之后开始累计。

A full day has $180$ chimes; count how many occur after $11{:}15$ AM on Feb $26$ and accumulate by day

解答：

每 $12$ 小时有 $12 + 78 = 90$ 次钟声，所以每天有 $180$ 次钟声。

从二月 $26$ 日上午 $11{:}15$ 之后，到当天结束有 $91$ 次钟声。之后每天增加 $180$ 次，到三月 $8$ 日结束时累计达到 $1891$ 次。

剩余钟声发生在三月 $9$ 日；第 $2003$ 次钟声是当天第 $112$ 次钟声，发生在三月 $9$ 日下午 $3{:}30$ 。

所以正确答案是 B。

Each $12$ -hour period has $12 + 78 = 90$ chimes, so each full day has $180.$

After $11{:}15$ AM on February $26,$ the rest of that day has $91$ chimes. Adding $180$ for each following full day, the count reaches $1891$ by the end of March $8.$

The remaining chimes fall on March $9:$ the $2003$ rd chime is the $112$ th chime of that day, occurring at $3{:}30$ PM on March $9.$

Thus, the correct answer is B.

23.

正八边形 $ABCDEFGH$ 的面积为一平方单位。长方形 $ABEF$ 的面积是多少？

A regular octagon $ABCDEFGH$ has an area of one square unit. What is the area of the rectangle $ABEF?$

$1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\sqrt{2} - 1$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1 + \sqrt{2}}{4}$

知识点：正多边形面积分割对称性

难度评级：1660

小提示：

设 $O$ 是八边形中心，也是长方形 $ABEF$ 对角线的交点。

Let $O$ be the center of the octagon, where the diagonals of $ABEF$ meet

大提示：

三角形 $AOB$ 是组成八边形的八个全等三角形之一。

Triangle $AOB$ is one of the eight congruent triangles making up the octagon

解答：

设 $O$ 是中心。八边形可由 $O$ 分成 $8$ 个全等三角形，所以 $\triangle AOB$ 的面积为 $\dfrac18$ 。

由于 $O$ 是 $AE$ 的中点，三角形 $AOB$ 与 $BOE$ 面积相等，所以 $\triangle ABE$ 面积为 $\dfrac14$ 。长方形 $ABEF$ 的面积是它的两倍，即 $\dfrac12$ 。

所以正确答案是 D。

Let $O$ be the center. The octagon splits into $8$ congruent triangles from $O,$ so $\triangle AOB$ has area $\dfrac18.$

Since $O$ is the midpoint of $AE,$ triangles $AOB$ and $BOE$ have equal area, so $\triangle ABE$ has area $\dfrac14.$ The rectangle $ABEF$ is twice this, namely $\dfrac12.$

Thus, the correct answer is D.

24.

一个等差数列的前四项依次为 $x+y$ 、 $x-y$ 、 $xy$ 、 $\frac{x}{y}$ 。第五项是多少？

The first four terms in an arithmetic sequence are $x+y,$ $x-y,$ $xy,$ and $\frac{x}{y},$ in that order. What is the fifth term?

$-\dfrac{15}{8}$

$-\dfrac{6}{5}$

$0$

$\dfrac{27}{20}$

$\dfrac{123}{40}$

知识点：等差数列方程组

难度评级：1820

小提示：

公差为 $(x-y)-(x+y)=-2y$ 。

The common difference is $(x-y)-(x+y)=-2y$

大提示：

因此第三项和第四项应为 $x-3y$ 与 $x-5y$ ；令它们分别等于 $xy$ 和 $\frac{x}{y}$ 。

So the third and fourth terms are $x-3y$ and $x-5y;$ set these equal to $xy$ and $\frac{x}{y}$

解答：

公差为 $-2y$ ，所以第三项和第四项应为 $x-3y$ 和 $x-5y$ 。因此 $xy=x-3y$ 且 $\dfrac{x}{y}=x-5y$ 。

因此由 $\dfrac{x}{y}=x-5y$ 得 $x=xy-5y^2$ ，再用 $xy=x-3y$ 得 $-3y-5y^2=0$ 。因为 $y\ne 0$ ，所以 $y=-\dfrac35$ ，进而 $x=-\dfrac98$ 。

第五项为 $x-7y=-\dfrac98 + \dfrac{21}{5}=\dfrac{123}{40}$ 。

所以正确答案是 E。

The common difference is $-2y,$ so the third and fourth terms must be $x-3y$ and $x-5y.$ Thus $xy=x-3y$ and $\dfrac{x}{y}=x-5y.$

From $\dfrac{x}{y}=x-5y$ we get $x=xy-5y^2,$ and substituting $xy=x-3y$ gives $-3y-5y^2=0.$ Since $y\ne 0,$ $y=-\dfrac35$ and then $x=-\dfrac98.$

The fifth term is $x-7y=-\dfrac98 + \dfrac{21}{5}=\dfrac{123}{40}.$

Thus, the correct answer is E.

25.

有多少个不同的四位数能被 $3$ 整除，并且最后两位是 $23$ ？

How many distinct four-digit numbers are divisible by $3$ and have $23$ as their last two digits?

$27$

$30$

$33$

$81$

$90$

知识点：整除性数字模运算

难度评级：1400

小提示：

一个数能被 $3$ 整除，当且仅当它的数字和能被 $3$ 整除。

A number is divisible by $3$ exactly when its digit sum is divisible by $3$

大提示：

写成 $\overline{ab23}$ ，要求 $a+b+5$ 能被 $3$ 整除，即 $a+b\equiv 1 \pmod 3$ 。

Writing the number as $\overline{ab23},$ require $a+b+5$ divisible by $3,$ so $a+b\equiv 1 \pmod 3$

解答：

将该数写成 $\overline{ab23}$ 。它能被 $3$ 整除，当且仅当数字和 $a+b+2+3=a+b+5$ 能被 $3$ 整除，也就是 $a+b\equiv 1 \pmod 3$ 。

两位前缀 $\overline{ab}$ 从 $10$ 到 $99$ ，共有 $90$ 个，其中恰好三分之一满足这个同余条件，因此共有 $\dfrac{90}{3}=30$ 个。

所以正确答案是 B。

Write the number as $\overline{ab23}.$ It is divisible by $3$ when $a+b+2+3=a+b+5$ is divisible by $3,$ that is, when $a+b\equiv 1 \pmod 3.$

The two-digit prefix $\overline{ab}$ ranges over the $90$ values from $10$ to $99,$ and exactly one third of them satisfy this, giving $\dfrac{90}{3}=30.$

Thus, the correct answer is B.