Question

递归定义数列： $F_{0}=0$ ， $~F_{1}=1$ ，且对所有 $n\geq 2$ ， $F_{n}=$ $F_{n-1}+F_{n-2}$ 除以 $3$ 的余数。因此数列开头为 $0$ ， $1$ ， $1$ ， $2$ ， $0$ ， $2$ ， $\ldots$ 。求 $F_{2017}+F_{2018}+F_{2019}+F_{2020}+$ $F_{2021}+F_{2022}+F_{2023}+F_{2024}\text{？}$

Define a sequence recursively by $F_{0}=0,$ $~F_{1}=1,$ and $F_{n}=$ the remainder when $F_{n-1}+F_{n-2}$ is divided by $3,$ for all $n\geq 2.$ Thus the sequence starts $0,$ $1,$ $1,$ $2,$ $0,$ $2,$ $\ldots.$ What is $F_{2017}+F_{2018}+F_{2019}+F_{2020}+$ $F_{2021}+F_{2022}+F_{2023}+F_{2024}?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

答案：D

知识点：斐波那契数列模运算找规律

难度评级：1140

小提示：

写出足够多的项，观察模 $3$ 的周期。

Write out enough terms to see the period modulo $3$

大提示：

要求和的八项正好覆盖一个完整周期。

The requested eight terms cover one complete period

解答：

先列出前几项，看看能否找到数列中的规律。

$0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, \cdots$

因为 $(F_8,F_9)=(0,1)=(F_0,F_1)$ ，而之后的每一项都由前两项唯一确定，所以数列每 $8$ 项重复一次。

所求是连续 $8$ 项的和，这个和固定，为 $0 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2$ $+ 2 + 1 = 9\text{。}$ 所以正确答案是 D。

Let us list out the first few values to see if we can find a pattern in this sequence.

$0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, \cdots$

The pair $(F_8,F_9)=(0,1)=(F_0,F_1).$ Because each later term is determined by the preceding two terms, the sequence therefore repeats every $8$ terms.

The desired answer is the sum of $8$ consecutive numbers, which is fixed. This sum is $0 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2$ $+ 2 + 1 = 9.$ Thus, D is the correct answer.

2017 AMC 10A 第 13 题

答案：D

难度评级：1140

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题