Question

数列 $101$ ， $1001$ ， $10001$ ， $100001$ ， $\ldots$ 的前 $2018$ 项中，有多少项能被 $101$ 整除？

How many of the first $2018$ numbers in the sequence $101,$ $1001,$ $10001,$ $100001,$ $\ldots$ are divisible by $101?$

$253$

$504$

$505$

$506$

$1009$

答案：C

知识点：模运算乘法阶区间内整数计数

难度评级：1570

小提示：

第 $k$ 项是 $10^{k+1} + 1$ ，当 $10^{k+1} \equiv -1 \pmod{101}$ 时能被 $101$ 整除。

The $k$ -th term is $10^{k+1} + 1,$ which is divisible by $101$ when $10^{k+1} \equiv -1 \pmod{101}$

大提示：

因为 $10^2 = 100 \equiv -1 \pmod{101}$ ，所以 $10^m \equiv -1$ 正好在 $m \equiv 2 \pmod 4$ 时发生。

$10^2 = 100 \equiv -1 \pmod{101},$ so $10^m \equiv -1$ exactly when $m \equiv 2 \pmod 4$

解答：

第 $k$ 项为 $10^{k+1} + 1$ ，它能被 $101$ 整除，当且仅当 $10^{k+1} \equiv -1 \pmod{101}$ 。因为 $10^2 = 100 \equiv -1 \pmod{101}$ ，所以 $10^m \equiv -1$ 当且仅当 $m \equiv 2 \pmod 4$ 。因此需要 $k + 1 \equiv 2$ ，即 $k \equiv 1 \pmod 4$ 。在 $k = 1, 2, \ldots, 2018$ 中，符合条件的是 $1, 5, \ldots, 2017$ ，共有 $505$ 个。正确答案是 C。

The $k$ -th term is $10^{k+1} + 1,$ which $101$ divides iff $10^{k+1} \equiv -1 \pmod{101}.$ Notice $10^2 = 100 \equiv -1 \pmod{101}.$ So $10^m \equiv -1$ exactly when $m \equiv 2 \pmod 4,$ meaning $k + 1 \equiv 2,$ that is $k \equiv 1 \pmod 4.$ Among $k = 1, 2, \ldots, 2018,$ the values $1, 5, \ldots, 2017$ number $505.$ Thus, C is the correct answer.

2018 AMC 10B 第 13 题

答案：C

难度评级：1570

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题