Question

两个半径为 $2$ 的圆分别以 $(2,0)$ 和 $(0,2)$ 为圆心。这两个圆内部交集的面积是多少？

Two circles of radius $2$ are centered at $(2,0)$ and at $(0,2).$ What is the area of the intersection of the interiors of the two circles?

$\pi-2$

$\dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{\pi\sqrt3}{3}$

$2(\pi-2)$

$\pi$

答案：D

知识点：扇形面积分割对称性

难度评级：1580

小提示：

找出两个圆的交点。

Find the two points where the circles intersect

大提示：

交集的一半是一个四分之一圆减去一个直角边为 $2$ 的等腰直角三角形。

Half the region is a quarter-circle minus an isosceles right triangle of leg $2$

解答：

两个圆交于 $(0,0)$ 和 $(2,2)$ 。

由对称性，交集的一半是从一个圆的四分之一圆中去掉直角边为 $2$ 的等腰直角三角形。四分之一圆面积为 $\dfrac14\pi(2)^2=\pi$ ，三角形面积为 $\dfrac12(2)^2=2$ 。

所以交集面积为 $2(\pi-2)$ 。

所以正确答案是 D。

The two circles intersect at $(0,0)$ and $(2,2).$

By symmetry, half the intersection is formed by removing an isosceles right triangle of leg length $2$ from a quarter of one circle. The quarter-circle has area $\dfrac14\pi(2)^2=\pi$ and the triangle has area $\dfrac12(2)^2=2.$

Therefore the whole region has area $2(\pi-2).$

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 10B 第 13 题

答案：D

难度评级：1580

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题