Question

坐标平面中由下列不等式定义的区域面积是多少？ $\bigl||x| - 1\bigr| + \bigl||y| - 1\bigr| \le 1\text{？}$

What is the area of the region in the coordinate plane defined by the inequality $\bigl||x| - 1\bigr| + \bigl||y| - 1\bigr| \le 1?$

$2$

$8$

$4$

$15$

$12$

答案：B

知识点：绝对值坐标几何面积对称性

难度评级：1600

小提示：

令 $u = |x|$ 、 $v = |y|$ ；则 $|u - 1| + |v - 1| \le 1$ 是一个菱形。

Substitute $u = |x|$ and $v = |y|;$ then $|u - 1| + |v - 1| \le 1$ is a diamond

大提示：

第一象限中的部分关于两条坐标轴反射，会复制成 $4$ 份。

Reflecting the first-quadrant piece across both axes copies it $4$ times

解答：

令 $u = |x|$ 、 $v = |y|$ 。则 $|u - 1| + |v - 1| \le 1$ 是以 $(1, 1)$ 为中心、两条对角线长都为 $2$ 的菱形，面积为 $2$ ，且它完全位于 $u, v \ge 0$ 中。映射 $(x, y) \mapsto (|x|, |y|)$ 对 $u, v \gt 0$ 的点是四对一，所以原区域面积为 $4 \times 2 = 8$ 。所以正确答案是 B。

Substitute $u = |x|,$ $v = |y|.$ Then $|u - 1| + |v - 1| \le 1$ is a diamond centered at $(1, 1)$ with diagonals of length $2,$ so it has area $2,$ and it sits entirely in $u, v \ge 0.$ The map $(x, y) \mapsto (|x|, |y|)$ is four-to-one over $u, v \gt 0,$ so the full region has area $4 \times 2 = 8.$ Thus, B is the correct answer.

2023 AMC 10B 第 13 题

答案：B

难度评级：1600

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题