Question

有多少个正整数 $n$ 满足

$(130n)^{50} \gt n^{100} \gt 2^{200}\text{？}$

How many positive integers $n$ satisfy the following condition:

$(130n)^{50} \gt n^{100} \gt 2^{200}?$

$0$

$7$

$12$

$65$

$125$

答案：E

知识点：不等式指数区间内整数计数

难度评级：1540

小提示：

所有量都为正，所以对不等式各部分取第 $50$ 次方根。

All quantities are positive, so take the $50$ th root of each part of the inequality

大提示：

条件变为 $130n \gt n^2$ 且 $n^2 \gt 16$ ，合起来是 $4 \lt n \lt 130$ 。

The conditions become $130n \gt n^2$ and $n^2 \gt 16,$ which together give $4 \lt n \lt 130$

解答：

取第 $50$ 次方根，条件变为 $130n \gt n^2 \gt 2^4 = 16$ 。由 $n^2 \gt 16$ 得 $n \gt 4$ ，由 $130n \gt n^2$ 得 $n \lt 130$ 。所以 $n$ 可以是整数 $5, 6, \ldots, 129$ ，共有 $125$ 个。

所以正确答案是 E。

Taking $50$ th roots, the condition becomes $130n \gt n^2 \gt 2^4 = 16.$ From $n^2 \gt 16$ we get $n \gt 4,$ and from $130n \gt n^2$ we get $n \lt 130.$ So $n$ ranges over the integers $5, 6, \ldots, 129,$ which is $125$ values.

Thus, the correct answer is E.

2005 AMC 10A 第 13 题

答案：E

难度评级：1540

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题