Question

¿Cuántos enteros positivos $n$ cumplen la siguiente condición:

$(130n)^{50} \gt n^{100} \gt 2^{200}?$

How many positive integers $n$ satisfy the following condition:

$(130n)^{50} \gt n^{100} \gt 2^{200}?$

$0$

$7$

$12$

$65$

$125$

Respuesta: E

Conceptos:desigualdad exponente conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Todas las cantidades son positivas, así que toma la raíz $50$ -ésima de cada parte de la desigualdad.

All quantities are positive, so take the $50$ th root of each part of the inequality

Pista grande:

Las condiciones se convierten en $130n \gt n^2$ y $n^2 \gt 16,$ que juntas dan $4 \lt n \lt 130$ .

The conditions become $130n \gt n^2$ and $n^2 \gt 16,$ which together give $4 \lt n \lt 130$

Solución:

Tomando raíces $50$ -ésimas, la condición se convierte en $130n \gt n^2 \gt 2^4 = 16.$ De $n^2 \gt 16$ obtenemos $n \gt 4,$ y de $130n \gt n^2$ obtenemos $n \lt 130.$ Así que $n$ recorre los enteros $5, 6, \ldots, 129,$ que son $125$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Taking $50$ th roots, the condition becomes $130n \gt n^2 \gt 2^4 = 16.$ From $n^2 \gt 16$ we get $n \gt 4,$ and from $130n \gt n^2$ we get $n \lt 130.$ So $n$ ranges over the integers $5, 6, \ldots, 129,$ which is $125$ values.

Thus, the correct answer is E.

2005 AMC 10A Problema 13

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años