Question

¿Cuántos enteros positivos $n$ cumplen la siguiente condición:

$(130n)^{50} \gt n^{100} \gt 2^{200}?$

How many positive integers $n$ satisfy the following condition:

$(130n)^{50} \gt n^{100} \gt 2^{200}?$

$0$

$7$

$12$

$65$

$125$

Solución:

Tomando raíces $50$ -ésimas, la condición se convierte en $130n \gt n^2 \gt 2^4 = 16.$ De $n^2 \gt 16$ obtenemos $n \gt 4,$ y de $130n \gt n^2$ obtenemos $n \lt 130.$ Así que $n$ recorre los enteros $5, 6, \ldots, 129,$ que son $125$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Taking $50$ th roots, the condition becomes $130n \gt n^2 \gt 2^4 = 16.$ From $n^2 \gt 16$ we get $n \gt 4,$ and from $130n \gt n^2$ we get $n \lt 130.$ So $n$ ranges over the integers $5, 6, \ldots, 129,$ which is $125$ values.

Thus, the correct answer is E.

2005 AMC 10A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años