Question

¿Cuál es la suma de todas las soluciones de $x = |2x-|60-2x||$ ?

What is the sum of all the solutions of $x = |2x-|60-2x||?$

$32$

$60$

$92$

$120$

$124$

Solución:

Primero nos ocupamos del valor absoluto exterior. Tenemos que $x = 2x - |60 - 2x|$ o $x = -2x + |60 - 2x|.$

Estos se simplifican a $x = |60 - 2x|$ y $3x = |60 - 2x|.$

Tenemos $2$ casos para cada ecuación. Para la primera, tenemos $x = 60 - 2x \text{ and } x = 2x - 60.$

Resolviendo ambas obtenemos $3x = 60$ $x = 20$ y $-x = -60$ $x = 60.$

Para la otra ecuación, tenemos $3x = 60 - 2x \text{ and } 3x = 2x - 60.$

Resolviendo de nuevo ambas, tenemos $5x = 60$ $x = 12$ y $x = -60.$ Observa que $x$ no puede ser negativo, ya que el lado derecho de la ecuación original es no negativo.

Sumando todas las soluciones obtenemos $20 + 60 + 12 = 92.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We first take care of the outer absolute value. We have either $x = 2x - |60 - 2x|$ or $x = -2x + |60 - 2x|.$

These simplify to $x = |60 - 2x|$ and $3x = |60 - 2x|.$

We have $2$ cases for each equation. For the first one, we have $x = 60 - 2x \text{ and } x = 2x - 60.$

Solving both gives us $3x = 60$ $x = 20$ and $-x = -60$ $x = 60.$

For the other equation, we have $3x = 60 - 2x \text{ and } 3x = 2x - 60.$

Again solving both, we have $5x = 60$ $x = 12$ and $x = -60.$ Note that $x$ cannot be negative since the right side of the original equation is nonnegative.

Adding up all the solutions gives us $20 + 60 + 12 = 92.$

Thus, C is the correct answer.

2010 AMC 10B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años