Soluciones del 2010 AMC 10B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $100(100-3)-(100 \cdot 100-3)$

What is the value of the following expression? $100(100-3)-(100 \cdot 100-3)$

$-20{,}000$

$-10{,}000$

$-297$

$-6$

$0$

Conceptos:orden de las operaciones operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Desarrolla ambos términos antes de restar.

Expand both terms before subtracting

Pista grande:

La mayoría de los términos de $100\cdot100$ se cancelan.

Most of the $100\cdot100$ terms cancel

Solución:

Tenemos que $\begin{aligned}100(100 - 3) &= 100 \cdot 97 \\&= 9700\end{aligned}$ y $\begin{aligned}100 \cdot 100 - 3 &= 10000 - 3\\ &= 9997.\end{aligned}$

Por lo tanto, su diferencia es: $9700 - 9997 = - 297.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We have that $\begin{aligned}100(100 - 3) &= 100 \cdot 97 \\&= 9700\end{aligned}$ and $\begin{aligned}100 \cdot 100 - 3 &= 10000 - 3\\ &= 9997.\end{aligned}$

As such, their difference is: $9700 - 9997 = - 297.$

Thus, C is the correct answer.

2.

Makayla asistió a dos reuniones durante su jornada laboral de $9$ horas. La primera reunión duró $45$ minutos y la segunda duró el doble. ¿Qué porcentaje de su jornada laboral dedicó a asistir a reuniones?

Makayla attended two meetings during her $9$ -hour work day. The first meeting took $45$ minutes and the second meeting took twice as long. What percent of her work day was spent attending meetings?

$15$

$20$

$25$

$30$

$35$

Conceptos:porcentaje conversión de unidades

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Convierte los tiempos de las reuniones a las mismas unidades.

Convert the meeting times to the same units

Pista grande:

Las reuniones duran $45+90$ minutos de un total de $9$ horas.

The meetings last $45+90$ minutes out of $9$ hours

Solución:

Observa que $45$ minutos son $\dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}$ horas. La segunda reunión dura entonces $2 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2}$ horas. Así, ambas reuniones toman en total $\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{4}$ horas. El porcentaje de la jornada laboral de Makayla dedicado a las reuniones es $100 \% \cdot \dfrac{\frac{9}{4}}{9} = 100 \% \cdot \dfrac{1}{4} = 25 \%.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that $45$ minutes is $\dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}$ hours. The second meeting is then $2 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2}$ hours. Both meetings take a total of $\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{4}$ hours then. The percent of Makayla’s work day spent attending meetings is $100 \% \cdot \dfrac{\frac{9}{4}}{9} = 100 \% \cdot \dfrac{1}{4} = 25 \%.$

Thus, C is the correct answer.

3.

Un cajón contiene calcetines rojos, verdes, azules y blancos, con al menos $2$ de cada color. ¿Cuál es el número mínimo de calcetines que se deben sacar del cajón para garantizar un par del mismo color?

A drawer contains red, green, blue, and white socks with at least $2$ of each color. What is the minimum number of socks that must be pulled from the drawer to guarantee a matching pair?

$3$

$4$

$5$

$8$

$9$

Conceptos:principio del palomar

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Considera el peor caso antes de que aparezca un par.

Use the worst case before a pair appears

Pista grande:

Puedes sacar primero un calcetín de cada uno de los cuatro colores.

You can draw one sock of each of the four colors first

Solución:

Para maximizar el número de calcetines, queremos sacar tantos calcetines sueltos como sea posible antes de obtener un par.

Hay $4$ colores, lo que significa que podemos sacar un calcetín de cada color antes de sacar un par.

Esto significa que se deben sacar al menos $4 + 1 = 5$ calcetines para garantizar un par.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

To maximize the number of socks, we want to grab as many single socks as possible before getting a pair.

There are $4$ colors, which means that we can draw one sock of each color before drawing a pair.

This means that it takes at least $4 + 1 = 5$ socks to be drawn before a pair is guaranteed.

Thus, C is the correct answer.

4.

Para un número real $x,$ define $\heartsuit(x)$ como el promedio de $x$ y $x^2.$ ¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $\heartsuit(1)+\heartsuit(2)+\heartsuit(3)$

For a real number $x,$ define $\heartsuit(x)$ to be the average of $x$ and $x^2.$ What is the value of the following expression? $\heartsuit(1)+\heartsuit(2)+\heartsuit(3)$

$3$

$6$

$10$

$12$

$20$

Conceptos:operación personalizada media

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Calcula por separado $\heartsuit(1),\heartsuit(2),\heartsuit(3)$ .

Evaluate $\heartsuit(1),\heartsuit(2),\heartsuit(3)$ separately

Pista grande:

$\heartsuit(x)=\dfrac{x+x^2}{2}$ .

$\heartsuit(x)=\dfrac{x+x^2}{2}$

Solución:

Tenemos $\heartsuit(1) = \dfrac{1 + 1^2}{2} = 1,$ $\heartsuit(2) = \dfrac{2 + 2^2}{2} = 3,$ y $\heartsuit(3) = \dfrac{3 + 3^2}{2} = 6.$

Entonces $1 + 3 + 6 = 10.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We have $\heartsuit(1) = \dfrac{1 + 1^2}{2} = 1,$ $\heartsuit(2) = \dfrac{2 + 2^2}{2} = 3,$ and $\heartsuit(3) = \dfrac{3 + 3^2}{2} = 6.$

Then $1 + 3 + 6 = 10.$

Thus, C is the correct answer.

5.

Un mes con $31$ días tiene el mismo número de lunes y de miércoles. ¿Cuántos de los siete días de la semana podrían ser el primer día de este mes?

A month with $31$ days has the same number of Mondays and Wednesdays. How many of the seven days of the week could be the first day of this month?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:fecha y hora aritmética modular

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

En $31$ días, tres días de la semana ocurren una vez más.

In $31$ days, three weekdays occur one extra time

Pista grande:

El lunes y el miércoles deben ser ambos días extra o ninguno de los dos serlo.

Monday and Wednesday must either both be extra days or both not be extra days

Solución:

Observa que $31$ días dejan un residuo de $3$ al dividir entre $7.$

Esto significa que si el mes empieza en sábado, domingo, martes o miércoles, habrá un número desigual de lunes y de miércoles.

Entonces el mes solo puede empezar en lunes, jueves o viernes.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that $31$ days leaves a remainder of $3$ when divided by $7.$

This means that if the month starts on a Saturday, Sunday, Tuesday, or Wednesday, there will be an uneven number of Mondays and Wednesdays.

Then the month can only start on a Monday, Thursday, or Friday.

Thus, B is the correct answer.

6.

Una circunferencia tiene centro $O,$ $\overline{AB}$ es un diámetro y $C$ es un punto en la circunferencia con $\angle COB = 50^\circ.$ ¿Cuál es la medida en grados de $\angle CAB$ ?

A circle is centered at $O,$ $\overline{AB}$ is a diameter and $C$ is a point on the circle with $\angle COB = 50^\circ.$ What is the degree measure of $\angle CAB?$

$20$

$25$

$45$

$50$

$65$

Conceptos:círculo triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Relaciona $\angle COB$ con $\angle AOC$ .

Relate $\angle COB$ to $\angle AOC$

Pista grande:

$OA=OC$ , así que $\triangle AOC$ es isósceles.

$OA=OC$ , so $\triangle AOC$ is isosceles

Solución:

Considera el siguiente diagrama:

Tenemos que $\angle AOC = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}.$

Como $\triangle AOC$ es isósceles, tenemos que $\angle CAO = \dfrac{180^{\circ} - 130^{\circ}}{2} = 25^{\circ}.$

Como $\angle CAB = \angle CAO,$ tenemos que $\angle CAB = 25^{\circ}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Consider the following diagram:

We have that $\angle AOC = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}.$

Since $\triangle AOC$ is isosceles, we have that $\angle CAO = \dfrac{180^{\circ} - 130^{\circ}}{2} = 25^{\circ}.$

Since $\angle CAB = \angle CAO,$ we have that $\angle CAB = 25^{\circ}.$

Thus, B is the correct answer.

7.

Un triángulo tiene lados de longitudes $10,$ $10,$ y $12.$ Un rectángulo tiene ancho $4$ y área igual al área del triángulo. ¿Cuál es el perímetro de este rectángulo?

A triangle has side lengths $10,$ $10,$ and $12.$ A rectangle has width $4$ and area equal to the area of the triangle. What is the perimeter of this rectangle?

$16$

$24$

$28$

$32$

$36$

Conceptos:área del triángulo Teorema de Pitágoras perímetro

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Traza la altura hacia el lado de longitud $12$ .

Drop the altitude to the side of length $12$

Pista grande:

La altura divide el triángulo en dos triángulos $6$ - $8$ - $10$ .

The altitude splits the triangle into two $6$ - $8$ - $10$ triangles

Solución:

Para hallar el área del triángulo, podemos trazar la altura hacia el lado de longitud $12.$

Entonces tenemos un triángulo rectángulo con un cateto $12 \div 2 = 6$ e hipotenusa $10.$

El otro cateto tiene longitud $\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8.$

El área del triángulo es entonces $\dfrac{8 \cdot 12}{2} = 48.$

El largo del rectángulo es entonces $48 \div 4 = 12.$ Su perímetro es $2(4 + 12) = 2 \cdot 16 = 32.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

To find the area of the triangle, we can drop the altitude to the side of length $12.$

Then we have a right triangle with one leg $12 \div 2 = 6$ and hypotenuse $10.$

The other leg has length $\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8.$

The area of the triangle is then $\dfrac{8 \cdot 12}{2} = 48.$

The length of the rectangle is then $48 \div 4 = 12.$ Its perimeter is $2(4 + 12) = 2 \cdot 16 = 32.$

Thus, D is the correct answer.

8.

Una entrada para una obra escolar cuesta $x$ dólares, donde $x$ es un número entero. Un grupo de estudiantes de $9$ º grado compra entradas por un total de $\$48,$ y un grupo de estudiantes de $10$ º grado compra entradas por un total de $\$64.$ ¿Cuántos valores de $x$ son posibles?

A ticket to a school play costs $x$ dollars, where $x$ is a whole number. A group of $9$ th graders buys tickets costing a total of $\$48,$ and a group of $10$ th graders buys tickets costing a total of $\$64.$ How many values for $x$ are possible?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:máximo común divisor conteo de factores

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

El precio de la entrada debe dividir ambos totales.

The ticket price must divide both totals

Pista grande:

Cuenta los divisores positivos de $\gcd(48,64)$ .

Count the positive divisors of $\gcd(48,64)$

Solución:

Observa que $x$ debe dividir tanto $48$ como $64,$ lo que significa que debe dividir su máximo común divisor.

El máximo común divisor de $48$ y $64$ es $16,$ lo que significa que $x$ divide a $16.$

$16$ tiene $5$ factores, a saber, todas las potencias de $2$ hasta $16.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that $x$ must divide both $48$ and $64,$ which means that it must divide their greatest common divisor.

The greatest common divisor of $48$ and $64$ is $16,$ which means $x$ divides $16.$

$16$ has $5$ factors, namely all the powers of $2$ up to $16.$

Thus, E is the correct answer.

9.

El profesor del afortunado Larry le pidió sustituir números por $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ y $e$ en la expresión $a-(b-(c-(d+e)))$ y evaluar el resultado. Larry ignoró los paréntesis pero sumó y restó correctamente, y obtuvo el resultado correcto por coincidencia. Los números que Larry sustituyó por $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ fueron $1,$ $2,$ $3,$ y $4,$ respectivamente. ¿Qué número sustituyó Larry por $e$ ?

Lucky Larry’s teacher asked him to substitute numbers for $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ and $e$ in the expression $a-(b-(c-(d+e)))$ and evaluate the result. Larry ignored the parentheses but added and subtracted correctly and obtained the correct result by coincidence. The numbers Larry substituted for $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ were $1,$ $2,$ $3,$ and $4,$ respectively. What number did Larry substitute for $e?$

$-5$

$-3$

$0$

$3$

$5$

Conceptos:orden de las operaciones ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Compara el valor que Larry obtuvo al ignorar los paréntesis con el valor correcto.

Compare Larry’s ignored-parentheses value to the correct value

Pista grande:

Evaluada correctamente, la expresión es $-2-e$ .

Correctly evaluated, the expression is $-2-e$

Solución:

Ignorando los paréntesis, Larry obtendría $1 - 2 - 3 - 4 + e = e - 8.$

Evaluando con los paréntesis, se obtendría $\begin{aligned} &1 - (2 -(3 - (4 + e)))\\ & = 1 - (2 - (-1 - e))\\ &= 1 - (3 + e) \\ &=-2 - e.\end{aligned}$

Ambos valores son iguales, por lo que $e - 8 = -2 - e$ $e = 3.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Ignoring the parentheses, Larry would get $1 - 2 - 3 - 4 + e = e - 8.$

Evaluating with the parentheses, one would get $\begin{aligned} &1 - (2 -(3 - (4 + e)))\\ & = 1 - (2 - (-1 - e))\\ &= 1 - (3 + e) \\ &=-2 - e.\end{aligned}$

Both of these values are the same, so $e - 8 = -2 - e$ $e = 3.$

Thus, D is the correct answer.

10.

Shelby conduce su scooter a una velocidad de $30$ millas por hora si no llueve, y $20$ millas por hora si llueve. Hoy condujo bajo el sol por la mañana y bajo la lluvia por la tarde, recorriendo un total de $16$ millas en $40$ minutos. ¿Cuántos minutos condujo bajo la lluvia?

Shelby drives her scooter at a speed of $30$ miles per hour if it is not raining, and $20$ miles per hour if it is raining. Today she drove in the sun in the morning and in the rain in the evening, for a total of $16$ miles in $40$ minutes. How many minutes did she drive in the rain?

$18$

$21$

$24$

$27$

$30$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Sea $t$ el tiempo bajo la lluvia en minutos.

Let $t$ be the rain time in minutes

Pista grande:

Usa $20\cdot\dfrac{t}{60}+30\cdot\dfrac{40-t}{60}=16$ .

Use $20\cdot\dfrac{t}{60}+30\cdot\dfrac{40-t}{60}=16$

Solución:

Observa que $40$ minutos son $\frac{2}{3}$ de hora. Supongamos que Shelby conduce $h$ horas bajo el sol.

Entonces conduce $\frac{2}{3} - h$ horas bajo la lluvia, lo que significa que recorre un total de $30h + 20\left(\dfrac{2}{3} - h\right) = 10h + \dfrac{40}{3}$ millas. Esto es igual a $16,$ así que $10h + \dfrac{40}{3} = 16$ $h = \dfrac{4}{15}.$

Entonces Shelby conduce $60\left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{15}\right) = 60 \cdot \dfrac{2}{5} = 24$ minutos bajo la lluvia.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that $40$ minutes is $\frac{2}{3}$ hours. Let Shelby drive $h$ hours in the sun.

Then she drives $\frac{2}{3} - h$ hours in the rain, which means she travels a total of $30h + 20\left(\dfrac{2}{3} - h\right) = 10h + \dfrac{40}{3}$ miles. We have this equals $16,$ so $10h + \dfrac{40}{3} = 16$ $h = \dfrac{4}{15}.$

Then Shelby drives $60\left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{15}\right) = 60 \cdot \dfrac{2}{5} = 24$ minutes in the rain.

Thus, C is the correct answer.

11.

Un comprador planea adquirir un artículo cuyo precio de lista es mayor que $\$100$ y puede usar cualquiera de los tres cupones. El cupón A da $15\%$ de descuento sobre el precio de lista, el cupón B da $\$30$ de descuento sobre el precio de lista, y el cupón C da $25\%$ de descuento sobre la cantidad en que el precio de lista excede $\$100.$

Sean $x$ e $y$ el menor y el mayor precio, respectivamente, para los cuales el cupón A ahorra al menos tantos dólares como el cupón B o C. ¿Cuánto vale $y - x$ ?

A shopper plans to purchase an item that has a listed price greater than $\$100$ and can use any one of the three coupons. Coupon A gives $15\%$ off the listed price, Coupon B gives $\$30$ off the listed price, and Coupon C gives $25\%$ off the amount by which the listed price exceeds $\$100.$

Let $x$ and $y$ be the smallest and largest prices, respectively, for which Coupon A saves at least as many dollars as Coupon B or C. What is $y - x?$

$50$

$60$

$75$

$80$

$100$

Conceptos:porcentaje desigualdad

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Expresa el ahorro de cada cupón en términos del precio de lista.

Write each coupon’s savings in terms of the listed price

Pista grande:

El cupón A debe superar tanto $\$30$ como $0.25(p-100)$ .

Coupon A must beat both $\$30$ and $0.25(p-100)$

Solución:

Sea $p$ el precio del artículo. Entonces el cupón A ahorra $0.15p.$ El cupón B ahorra $\$ 30.$

El cupón C ahorrará $0.25(p - 100) = 0.25p - 25.$

Debemos tener $0.15p \ge 30$ $p \geq 200$ y $0.15p \ge 0.25p - 25$ $250 \geq p.$

Esto muestra que $x = 200$ e $y = 250.$ Por lo tanto $y - x = 50.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $p$ be the price of the item. Then coupon A saves $0.15p.$ Coupon B saves $\$ 30.$

Coupon C will save $0.25(p - 100) = 0.25p - 25.$

We must have that $0.15p \ge 30$ $p \geq 200$ and $0.15p \ge 0.25p - 25$ $250 \geq p.$

This shows that $x = 200$ and $y = 250.$ Therefore $y - x = 50.$

Thus, A is the correct answer.

12.

Al comienzo del año escolar, $50\%$ de todos los estudiantes de la clase de matemáticas del Sr. Wells respondieron «Sí» a la pregunta «¿Amas las matemáticas?», y $50\%$ respondieron «No». Al final del año escolar, $70\%$ respondieron «Sí» y $30\%$ respondieron «No». En total, $x\%$ de los estudiantes dieron una respuesta diferente al comienzo y al final del año escolar. ¿Cuál es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo posible de $x$ ?

At the beginning of the school year, $50\%$ of all students in Mr. Wells’ math class answered “Yes” to the question “Do you love math”, and $50\%$ answered “No.” At the end of the school year, $70\%$ answered “Yes” and $30\%$ answered “No.” Altogether, $x\%$ of the students gave a different answer at the beginning and end of the school year. What is the difference between the maximum and the minimum possible values of $x?$

$0$

$20$

$40$

$60$

$80$

Conceptos:porcentaje acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Piensa en $100$ estudiantes.

Think of $100$ students

Pista grande:

Minimiza o maximiza el número de quienes cambian de respuesta.

Minimize or maximize the number who switch answers

Solución:

Para minimizar $x,$ queremos que la mayor cantidad posible de estudiantes mantenga su respuesta.

Entonces necesitamos que al menos el $70 - 50 = 20$ por ciento de los estudiantes cambien su respuesta.

Para maximizar $x,$ podemos hacer que todos los que respondieron no cambien su respuesta, pero algunos de los que respondieron sí deben seguir respondiendo sí.

Necesitamos que el $70 - 50 = 20$ por ciento de quienes dijeron sí sigan diciendo sí, lo que significa que solo el $50 - 20 = 30$ por ciento puede cambiar.

Esto hace que el porcentaje máximo de estudiantes que pueden cambiar sea el $50 + 30 = 80$ por ciento. La diferencia es entonces $80 - 20 = 60.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

To minimize $x,$ we want to have as many kids as possible maintain their answer.

We then need at least $70 - 50 = 20$ percent of the students to change their answer.

To maximize $x,$ we can have everybody that answered no change their answer, but some who answered yes must stay yes.

We need $70 - 50 = 20$ percent of the people who said yes to stay yes, which means only $50 - 20 = 30$ percent can switch.

This makes the maximum percent of students that can switch $50 + 30 = 80$ percent. The difference is then $80 - 20 = 60.$

Thus, D is the correct answer.

13.

¿Cuál es la suma de todas las soluciones de la siguiente ecuación? $x = |2x-|60-2x||$

What is the sum of all the solutions of the equation below? $x = |2x-|60-2x||$

$32$

$60$

$92$

$120$

$124$

Conceptos:valor absoluto análisis por casos

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Separa en casos según el signo de $60-2x$ .

Split cases based on the sign of $60-2x$

Pista grande:

Después de resolver el valor absoluto interior, resuelve las ecuaciones con valor absoluto resultantes.

After resolving the inner absolute value, solve the resulting absolute-value equations

Solución:

Primero nos ocupamos del valor absoluto exterior. Tenemos $x = 2x - |60 - 2x|$ o $x = -2x + |60 - 2x|.$

Estas ecuaciones se simplifican a $x = |60 - 2x|$ y $3x = |60 - 2x|.$

Tenemos $2$ casos para cada ecuación. Para la primera, tenemos $x = 60 - 2x$ y $x = 2x - 60.$

Resolviendo ambas obtenemos $3x = 60$ $x = 20$ y $-x = -60$ $x = 60.$

Para la otra ecuación, tenemos $3x = 60 - 2x$ y $3x = 2x - 60.$

Resolviendo de nuevo ambas, tenemos $5x = 60$ $x = 12$ y $x = -60.$ Observa que $x$ no puede ser negativo, ya que el lado derecho de la ecuación original es no negativo.

Sumando todas las soluciones obtenemos $20 + 60 + 12 = 92.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We first take care of the outer absolute value. We have either $x = 2x - |60 - 2x|$ or $x = -2x + |60 - 2x|.$

These simplify to $x = |60 - 2x|$ and $3x = |60 - 2x|.$

We have $2$ cases for each equation. For the first one, we have $x = 60 - 2x$ and $x = 2x - 60.$

Solving both gives us $3x = 60$ $x = 20$ and $-x = -60$ $x = 60.$

For the other equation, we have $3x = 60 - 2x$ and $3x = 2x - 60.$

Again solving both, we have $5x = 60$ $x = 12$ and $x = -60.$ Note that $x$ cannot be negative since the right side of the original equation is nonnegative.

Adding up all the solutions gives us $20 + 60 + 12 = 92.$

Thus, C is the correct answer.

14.

El promedio de los números $1,$ $2,$ $3,$ $\cdots,$ $98,$ $99,$ y $x$ es $100x.$ ¿Cuánto vale $x$ ?

The average of the numbers $1,$ $2,$ $3,$ $\cdots,$ $98,$ $99,$ and $x$ is $100x.$ What is $x?$

$\dfrac{49}{101}$

$\dfrac{50}{101}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{51}{101}$

$\dfrac{50}{99}$

Conceptos:media sucesión aritmética ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Usa la suma $1+2+\cdots+99$ .

Use the sum $1+2+\cdots+99$

Pista grande:

Plantea $\dfrac{99\cdot50+x}{100}=100x$ .

Set $\dfrac{99\cdot50+x}{100}=100x$

Solución:

Recuerda que la suma de los primeros $n$ enteros es $\dfrac{n(n + 1)}{2}.$

Entonces, tenemos $\dfrac{\frac{99 \cdot 100}{2} + x}{100} = 100x,$ lo que se simplifica a $99 \cdot 50 = (100^2 - 1)x$ $= 101 \cdot 99x,$ por diferencia de cuadrados. Al dividir obtenemos $x = \dfrac{50}{101}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Recall that the sum of the first $n$ integers is $\dfrac{n(n + 1)}{2}.$

Then, we have that $\dfrac{\frac{99 \cdot 100}{2} + x}{100} = 100x,$ which simplifies to $99 \cdot 50 = (100^2 - 1)x$ $= 101 \cdot 99x,$ by difference of squares. Dividing gives us $x = \dfrac{50}{101}.$

Thus, B is the correct answer.

15.

En un concurso de matemáticas de opción múltiple de $50$ preguntas, los estudiantes reciben $4$ puntos por una respuesta correcta, $0$ puntos por una respuesta en blanco y $-1$ punto por una respuesta incorrecta. La puntuación total de Jesse en el concurso fue $99.$ ¿Cuál es el número máximo de preguntas que Jesse pudo haber respondido correctamente?

On a $50$ -question multiple choice math contest, students receive $4$ points for a correct answer, $0$ points for an answer left blank, and $-1$ point for an incorrect answer. Jesse’s total score on the contest was $99.$ What is the maximum number of questions that Jesse could have answered correctly?

$25$

$27$

$29$

$31$

$33$

Conceptos:ecuación lineal desigualdad optimización

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Sea $R$ el número de respuestas correctas y $W$ el de incorrectas.

Let $R$ be correct answers and $W$ wrong answers

Pista grande:

Usa $4R-W=99$ y $R+W\le50$ .

Use $4R-W=99$ and $R+W\le50$

Solución:

Sea $x$ el número de preguntas que Jesse respondió correctamente e $y$ el número que respondió incorrectamente.

Entonces $4x-y=99$ y $x+y\leq50.$

Tenemos que $y = 4x - 99$ $5x - 99 \leq 50.$

Al reorganizar y simplificar obtenemos que $x \leq 29.8.$ Como $x$ es un entero, su valor máximo es $29.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $x$ be the number of questions Jesse answered correctly and $y$ be the number he answered incorrectly.

Then $4x-y=99$ and $x+y\leq50.$

We have that $y = 4x - 99$ $5x - 99 \leq 50.$

Rearranging and simplifying tells us that $x \leq 29.8.$ Since $x$ is an integer, its maximum value is $29.$

Thus, C is the correct answer.

16.

Un cuadrado de lado $1$ y una circunferencia de radio $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ comparten el mismo centro. ¿Cuál es el área dentro de la circunferencia pero fuera del cuadrado?

A square of side length $1$ and a circle of radius $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ share the same center. What is the area inside the circle, but outside the square?

$\dfrac{\pi}{3}-1$

$\dfrac{2\pi}{9}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{\pi}{18}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{2\pi}{9}$

Conceptos:área del círculo sector circular triángulo rectángulo especial descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Encuentra dónde la circunferencia corta uno de los lados del cuadrado.

Find where the circle cuts one side of the square

Pista grande:

Un lado aporta un segmento circular fuera del cuadrado.

One side contributes a circular segment outside the square

Solución:

Traza la altura desde $O$ hacia $\overline{AB}$ con pie en $X.$

Observando las longitudes de los lados, vemos que $\triangle OBX$ es un triángulo $30-60-90$ .

Esto significa que el área del sector $AOB$ es $\dfrac{1}{6} \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{\sqrt3}{3}\right)^2 = \dfrac{\pi}{18}.$

También tenemos que el área de $\triangle AOB$ es $\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{6} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt3}{12}.$

El área del sector fuera del cuadrado y dentro de la circunferencia es entonces $\dfrac{\pi}{18} - \dfrac{\sqrt3}{12}.$

Hay $4$ de estas regiones, lo que nos da un área total de $4\left(\dfrac{\pi}{18} - \dfrac{\sqrt3}{12}\right) = \dfrac{2\pi}{9} - \dfrac{\sqrt3}{3}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Drop the altitude from $O$ to $\overline{AB}$ at $X.$

Looking at the side lengths, we see that $\triangle OBX$ is a $30-60-90$ triangle.

This means that the area of sector $AOB$ is $\dfrac{1}{6} \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{\sqrt3}{3}\right)^2 = \dfrac{\pi}{18}.$

We also have that the area of $\triangle AOB$ is $\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{6} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt3}{12}.$

The area of the sector outside the square and inside the circle is then $\dfrac{\pi}{18} - \dfrac{\sqrt3}{12}.$

There are $4$ of these regions, which gives us a total area of $4\left(\dfrac{\pi}{18} - \dfrac{\sqrt3}{12}\right) = \dfrac{2\pi}{9} - \dfrac{\sqrt3}{3}.$

Thus, B is the correct answer.

17.

Cada escuela secundaria de la ciudad de Euclid envió un equipo de $3$ estudiantes a un concurso de matemáticas. Cada participante del concurso obtuvo una puntuación diferente. La puntuación de Andrea fue la mediana entre todos los estudiantes, y fue la más alta de su equipo. Las compañeras de Andrea, Beth y Carla, quedaron en los lugares $37$ y $64$ , respectivamente. ¿Cuántas escuelas hay en la ciudad?

Every high school in the city of Euclid sent a team of $3$ students to a math contest. Each participant in the contest received a different score. Andrea’s score was the median among all students, and hers was the highest score on her team. Andrea’s teammates Beth and Carla placed $37$ th and $64$ th, respectively. How many schools are in the city?

$22$

$23$

$24$

$25$

$26$

Conceptos:mediana (datos)desigualdad deducción lógica

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Si hay $n$ escuelas, hay $3n$ concursantes.

If there are $n$ schools, there are $3n$ contestants

Pista grande:

El lugar mediano de Andrea es $\dfrac{3n+1}{2}$ .

Andrea’s median place is $\dfrac{3n+1}{2}$

Solución:

Sean $n$ escuelas. Entonces hay $3n$ participantes en el concurso.

Como la mediana es la puntuación de un estudiante, $3n$ es impar y, por tanto, $n$ es impar. El puesto $64$ de Carla exige $3n\ge64,$ así que el entero impar $n$ es al menos $23.$

El puesto mediano de Andrea es $\dfrac{3n+1}{2}.$ Como obtuvo la mayor puntuación de su equipo, terminó por delante de Beth, así que $\dfrac{3n+1}{2}\lt37.$ Esto da $3n\lt73,$ y por tanto el entero impar $n$ es como máximo $23.$

Así, hay $23$ escuelas.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let there be $n$ schools. Then there are $3n$ participants in the contest.

Because the median is one student’s score, $3n$ is odd, so $n$ is odd. Carla’s $64$ th place requires $3n\ge64,$ and hence the odd integer $n$ is at least $23.$

Andrea’s median place is $\dfrac{3n+1}{2}.$ Because she had the highest score on her team, she finished ahead of Beth, so $\dfrac{3n+1}{2}\lt37.$ This gives $3n\lt73,$ and therefore the odd integer $n$ is at most $23.$

Thus there are $23$ schools.

Thus, B is the correct answer.

18.

Los enteros positivos $a,$ $b,$ y $c$ se seleccionan de forma aleatoria e independiente, con reemplazo, del conjunto $\{1, 2, 3,\dots, 2010\}.$

¿Cuál es la probabilidad de que $abc + ab + a$ sea divisible entre $3$ ?

Positive integers $a,$ $b,$ and $c$ are randomly and independently selected with replacement from the set $\{1, 2, 3,\dots, 2010\}.$

What is the probability that $abc + ab + a$ is divisible by $3?$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{29}{81}$

$\dfrac{31}{81}$

$\dfrac{11}{27}$

$\dfrac{13}{27}$

Conceptos:aritmética modular probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Factoriza la expresión como $a(bc+b+1)$ .

Factor the expression as $a(bc+b+1)$

Pista grande:

Si $a$ no es divisible por $3$ , trabaja módulo $3$ con $b(c+1)$ .

If $a$ is not divisible by $3$ , work modulo $3$ with $b(c+1)$

Solución:

Observa que $abc + ab + a = a(bc + b + 1).$ Esto significa que si $a$ es divisible entre $3,$ toda la expresión también lo es.

Como $2010$ es divisible entre $3,$ tenemos que $a$ es divisible entre $3$ con probabilidad $\frac{1}{3}.$

Ahora consideremos $a$ no divisible entre $3.$ Para que la expresión sea divisible entre $3,$ debemos tener que $bc + b + 1$ es divisible entre $3.$

Esto significa que $bc + b = b(c + 1) \equiv 2 \pmod{3}.$

La única posibilidad para esto es que uno de los factores sea $2$ módulo $3$ y el otro sea $1$ módulo $3.$

Para cada uno de los dos casos, hay una probabilidad de $\frac{1}{3}$ de que cada uno de los factores tenga el residuo deseado, para una probabilidad de $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}.$

Hay dos casos, lo que significa que esto ocurre con una probabilidad de $\dfrac{2}{9}$ .

La probabilidad total es entonces $\dfrac{1}{3} \cdot 1 + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{13}{27}.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that $abc + ab + a = a(bc + b + 1).$ This means that if $a$ is divisible by $3,$ the whole expression is as well.

Since $2010$ is divisible by $3,$ we have that $a$ is divisible by $3$ with probability $\frac{1}{3}.$

Now consider $a$ not divisible by $3.$ For the expression to be divisible by $3,$ we must have that $bc + b + 1$ is divisible by $3.$

This means that $bc + b = b(c + 1) \equiv 2 \pmod{3}.$

The only possibility for this is that one of the factors is $2$ mod $3$ and the other is $1$ mod $3.$

For each of the two cases, there is a $\frac{1}{3}$ chance that each of the factors is the desired modulus, for a probability of $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}.$

There are two cases, which means that this happens with a $\dfrac{2}{9}$ probability.

The total probability is then $\dfrac{1}{3} \cdot 1 + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{13}{27}.$

Thus, E is the correct answer.

19.

Una circunferencia con centro $O$ tiene área $156\pi.$ El triángulo $ABC$ es equilátero, $\overline{BC}$ es una cuerda de la circunferencia, $OA = 4\sqrt{3},$ y el punto $O$ está fuera del $\triangle ABC.$ ¿Cuál es la longitud del lado del $\triangle ABC$ ?

A circle with center $O$ has area $156\pi.$ Triangle $ABC$ is equilateral, $\overline{BC}$ is a chord on the circle, $OA = 4\sqrt{3},$ and point $O$ is outside $\triangle ABC.$ What is the side length of $\triangle ABC?$

$2\sqrt{3}$

$6$

$4\sqrt{3}$

$12$

$18$

Conceptos:cuerda triángulo equilátero Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Sea $s$ la longitud del lado y traza la altura desde $A$ .

Let $s$ be the side length and drop the altitude from $A$

Pista grande:

Usa el radio de la circunferencia $\sqrt{156}$ y la altura del triángulo equilátero.

Use the circle radius $\sqrt{156}$ and the equilateral triangle altitude

Solución:

Considera el siguiente diagrama:

Usando la fórmula del área de una circunferencia, tenemos que $BO = \sqrt{156}$ por ser un radio.

Extiende $\overline{AO}$ hasta cortar $\overline{BC}$ en $X.$ Sea $s$ la longitud del lado del $\triangle ABC.$

Entonces tenemos $BX = \dfrac{s}{2}$ y $AX = \dfrac{s\sqrt3}{2}.$

Tenemos que $\triangle OXB$ es rectángulo, lo que significa que podemos aplicar el Teorema de Pitágoras. Esto nos da $(\sqrt{156})^2 = \left(\dfrac{s}{2}\right)^2$ $+ \left(\dfrac{s\sqrt3}{2} + 4\sqrt3\right)^2.$

Simplificando, obtenemos $156 = s^2 + 12s + 48$ $s^2 + 12s - 108 = 0$ $(s - 6)(s + 18) = 0.$

Como $s$ es positivo, debemos tener que $s = 6.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Consider the following diagram:

Using the formula for the area of a circle, we have that $BO = \sqrt{156}$ since it is a radius.

Extend $\overline{AO}$ to intersect $\overline{BC}$ at $X.$ Let $s$ be the side length of $\triangle ABC.$

Then we have that $BX = \dfrac{s}{2}$ and $AX = \dfrac{s\sqrt3}{2}.$

We have that $\triangle OXB$ is right, which means that we can apply the Pythagorean Theorem. This gives us $(\sqrt{156})^2 = \left(\dfrac{s}{2}\right)^2$ $+ \left(\dfrac{s\sqrt3}{2} + 4\sqrt3\right)^2.$

Simplifying, we get $156 = s^2 + 12s + 48$ $s^2 + 12s - 108 = 0$ $(s - 6)(s + 18) = 0.$

Since $s$ is positive, we must have that $s = 6.$

Thus, B is the correct answer.

20.

Dos circunferencias están fuera del hexágono regular $ABCDEF.$ La primera es tangente a $\overline{AB},$ y la segunda es tangente a $\overline{DE}.$ Ambas son tangentes a las rectas $BC$ y $FA.$ ¿Cuál es la razón entre el área de la segunda circunferencia y la de la primera?

Two circles lie outside regular hexagon $ABCDEF.$ The first is tangent to $\overline{AB},$ and the second is tangent to $\overline{DE}.$ Both are tangent to lines $BC$ and $FA.$ What is the ratio of the area of the second circle to that of the first circle?

$18$

$27$

$36$

$81$

$108$

Conceptos:polígono regular recta tangente triángulo rectángulo especial razón de áreas

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Compara los radios de las dos circunferencias.

Compare the two circle radii

Pista grande:

El radio mayor proviene de un triángulo $30$ - $60$ - $90$ .

The larger radius comes from a $30$ - $60$ - $90$ triangle

Solución:

Considera el siguiente diagrama:

Supongamos que el hexágono regular tiene lado $1.$ La circunferencia más pequeña está inscrita en un triángulo equilátero de lado $1.$

El inradio de este triángulo equilátero es $\dfrac{\sqrt3}{6}.$ El área de la circunferencia es entonces $\pi \cdot \left(\dfrac{\sqrt3}{6}\right)^2 = \dfrac{\pi}{12}.$

Sea $O$ el centro de la circunferencia más grande. Traza la perpendicular desde $O$ hacia $\overline{GH}$ con pie en $J.$ Traza $\overline{OG}.$

Tenemos que $\triangle OJG$ es rectángulo. Como $\angle HGI = 60^{\circ},$ también tenemos que $\triangle OJG$ es un triángulo $30-60-90$ .

Sea $OJ = r.$ Entonces $OG = 2r.$ También tenemos que $OG$ es la suma de la altura del hexágono, la del triángulo equilátero y el radio de la circunferencia.

Entonces $OG = \dfrac{\sqrt3}{2} + \sqrt3 + r.$

Sustituyendo $OG,$ obtenemos $2r = \dfrac{\sqrt3}{2} + \sqrt3 + r.$ Simplificando obtenemos $r = \dfrac{3\sqrt3}{2}.$

El área de la circunferencia más grande es entonces $\pi \cdot \left(\dfrac{3\sqrt3}{2}\right)^2 = \dfrac{27}{4}\pi.$

La razón buscada es entonces $\dfrac{\frac{27\pi}{4}}{\frac{\pi}{12}} = 81.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Consider the following diagram:

Assume the regular hexagon has side length $1.$ The smaller circle is inscribed in an equilateral triangle of side length $1.$

The inradius of this equilateral triangle is $\dfrac{\sqrt3}{6}.$ The area of the circle is then $\pi \cdot \left(\dfrac{\sqrt3}{6}\right)^2 = \dfrac{\pi}{12}.$

Let $O$ be the center of the larger circle. Drop the perpendicular from $O$ to $\overline{GH}$ at $J.$ Draw $\overline{OG}.$

We have that $\triangle OJG$ is right. Since $\angle HGI = 60^{\circ},$ we also have that $\triangle OJG$ is a $30-60-90$ triangle.

Let $OJ = r.$ Then $OG = 2r.$ We also have that $OG$ is the sum of the height of the hexagon, equilateral triangle, and radius of the circle.

Then $OG = \dfrac{\sqrt3}{2} + \sqrt3 + r.$

Substituting in $OG,$ we get $2r = \dfrac{\sqrt3}{2} + \sqrt3 + r.$ Simplifying gives us $r = \dfrac{3\sqrt3}{2}.$

The area of the larger circle is then $\pi \cdot \left(\dfrac{3\sqrt3}{2}\right)^2 = \dfrac{27}{4}\pi.$

The desired ratio is then $\dfrac{\frac{27\pi}{4}}{\frac{\pi}{12}} = 81.$

Thus, D is the correct answer.

21.

Se elige al azar un palíndromo entre $1000$ y $10{,}000$ . ¿Cuál es la probabilidad de que sea divisible entre $7$ ?

A palindrome between $1000$ and $10{,}000$ is chosen at random. What is the probability that it is divisible by $7?$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{7}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

Conceptos:palíndromo divisibilidad probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Escribe un palíndromo de cuatro dígitos como $abba$ .

Write a four-digit palindrome as $abba$

Pista grande:

Su valor es $1001a+110b$ , y $1001$ es divisible entre $7$ .

The value is $1001a+110b$ , and $1001$ is divisible by $7$

Solución:

Podemos expresar cualquier número de $4$ dígitos como $abcd.$ Su forma desarrollada es $10^3a + 10^2b + 10c + d.$ En un palíndromo, $a = d$ y $b = c.$ Por lo tanto, la expresión se simplifica a $1001a + 110b.$ Como $1001$ es divisible entre $7,$ también $110b$ debe ser divisible entre $7.$

La única forma de que esto ocurra es que $b$ sea $0$ o $7$ , ya que $110$ no es divisible entre $7.$

Hay $9$ opciones para $a$ y $2$ opciones para $b,$ para un total de $9 \cdot 2 = 18$ palíndromos.

El número total de palíndromos es $9 \cdot 10$ , ya que hay $9$ opciones para el dígito de los millares y $10$ opciones para el dígito de las centenas.

La probabilidad buscada es entonces $\dfrac{18}{9 \cdot 10} = \dfrac{1}{5}.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that we can express any $4$ digit number as $abcd.$ This can be expressed in long form as $10^3a + 10^2b + 10c + d.$ Since in a palindrome, we have that $a = d$ and $b = c.$ We can simplify this to get $1001a + 110b.$ Note that $1001$ is divisible by $7.$ This means that $110b$ must also be divisible by $7.$

The only way for this to happen is if $b$ is $0$ or $7$ since $110$ is not divisible by $7.$

There are $9$ options for $a$ and $2$ options for $b,$ for a total of $9 \cdot 2 = 18$ palindromes.

The total number of palindromes is $9 \cdot 10$ since there are $9$ options for the thousands digit and $10$ options for the hundreds digit.

The desired probability is then $\dfrac{18}{9 \cdot 10} = \dfrac{1}{5}.$

Thus, E is the correct answer.

22.

Siete piezas distintas de dulce se van a repartir entre tres bolsas. La bolsa roja y la bolsa azul deben recibir cada una al menos una pieza de dulce; la bolsa blanca puede quedar vacía. ¿Cuántas distribuciones son posibles?

Seven distinct pieces of candy are to be distributed among three bags. The red bag and the blue bag must each receive at least one piece of candy; the white bag may remain empty. How many arrangements are possible?

$1930$

$1931$

$1932$

$1933$

$1934$

Conceptos:conteo complementario inclusión-exclusión principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Primero cuenta todas las $3^7$ distribuciones.

Count all $3^7$ distributions first

Pista grande:

Resta los casos en que la bolsa roja o la azul están vacías, y luego vuelve a sumar la superposición.

Subtract cases with the red or blue bag empty, then add back the overlap

Solución:

Podemos contar esto con conteo complementario. El número total de maneras de repartir los dulces sin restricciones es $3^7 = 2187.$

Para hallar el número de distribuciones inválidas, debemos contar las maneras en que la bolsa roja o la azul quedan vacías.

Para el caso en que la bolsa roja queda vacía, cada dulce tiene $2$ opciones de bolsa a la que puede ir. Hay entonces $2^7 = 128$ distribuciones para este caso. De forma similar, hay $128$ distribuciones para el caso en que la bolsa azul queda vacía.

Hay una superposición de un caso en que ambas bolsas quedan vacías. La respuesta final es entonces $2187 - (128 + 128 - 1) = 1932.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can count this with complementary counting. The total number of ways to distribute the candies with no restrictions is $3^7 = 2187.$

To find the number of invalid arrangements, we have to count the number of ways where either the red or blue bag is empty.

For the case where the red bag is empty, each candy has $2$ options for the bag that goes into. There are then $2^7 = 128$ arrangements for this case. Similarly, there are $128$ arrangements for the case where the blue bag is empty.

There is an overlap of one case where both bags are empty. The final answer is then $2187 - (128 + 128 - 1) = 1932.$

Thus, C is the correct answer.

23.

Las entradas de un arreglo $3 \times 3$ incluyen todos los dígitos del $1$ al $9,$ dispuestos de modo que las entradas de cada fila y cada columna estén en orden creciente. ¿Cuántos arreglos de este tipo hay?

The entries in a $3 \times 3$ array include all the digits from $1$ through $9,$ arranged so that the entries in every row and column are in increasing order. How many such arrays are there?

$18$

$24$

$36$

$42$

$60$

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

La entrada central solo puede ser $4,5,$ o $6$ .

The center entry can only be $4,5,$ or $6$

Pista grande:

Analiza por casos según la entrada central y usa las restricciones de crecimiento por filas y columnas.

Case on the center and use the row-column increasing constraints

Solución:

Sea $a_{ij}$ la entrada de la fila $i$ y la columna $j.$ Las condiciones de crecimiento obligan a que $a_{11}=1,$ $a_{33}=9,$ y que $a_{22}$ sea $4,$ $5,$ o $6.$

Si $a_{22}=4,$ entonces $\{a_{12},a_{21}\}=\{2,3\}.$ Elegimos cuáles dos de $5,$ $6,$ $7,$ y $8$ van en el par inferior izquierdo $\{a_{31},a_{32}\};$ los otros dos van en el par superior derecho $\{a_{13},a_{23}\}.$ Cada par tiene entonces un único orden creciente. Hay $2\binom42=12$ arreglos: dos órdenes para $2,$ $3$ alrededor de la esquina superior izquierda y $\binom42$ elecciones para el par inferior izquierdo. Al invertir los dígitos y rotar el arreglo, también hay $12$ arreglos con centro $6.$

Si $a_{22}=5,$ elegimos las tres entradas de las posiciones $a_{12},$ $a_{13},$ y $a_{23}.$ Pueden ser cualesquiera tres de $\{2,3,4,6,7,8\}$ , salvo $\{2,3,4\}$ o $\{6,7,8\};$ esas dos elecciones pondrían las tres entradas pequeñas o las tres grandes a un solo lado y violarían una comparación necesaria con el centro. Cualquier otra elección determina de manera única las entradas restantes y sus órdenes crecientes. Esto da $\binom63-2=18$ arreglos.

El total es $12+18+12=42.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $a_{ij}$ be the entry in row $i$ and column $j.$ The increasing conditions force $a_{11}=1,$ $a_{33}=9,$ and $a_{22}$ to be $4,$ $5,$ or $6.$

If $a_{22}=4,$ then $\{a_{12},a_{21}\}=\{2,3\}.$ Choose which two of $5,$ $6,$ $7,$ and $8$ go in the bottom-left pair $\{a_{31},a_{32}\};$ the other two go in the top-right pair $\{a_{13},a_{23}\}.$ Each pair then has only one increasing order. There are $2\binom42=12$ arrays: two orders for $2,$ $3$ around the upper-left corner and $\binom42$ choices for the bottom-left pair. By reversing the digits and rotating the array, there are also $12$ arrays with center $6.$

If $a_{22}=5,$ choose the three entries in positions $a_{12},$ $a_{13},$ and $a_{23}.$ They can be any three of $\{2,3,4,6,7,8\}$ except $\{2,3,4\}$ or $\{6,7,8\};$ those two choices would put all three small or all three large entries on one side and violate a required comparison with the center. Every other choice uniquely determines the remaining entries and their increasing orders. This gives $\binom63-2=18$ arrays.

The total is $12+18+12=42.$

Thus, D is the correct answer.

24.

Un partido de baloncesto de secundaria entre los Raiders y los Wildcats estaba empatado al final del primer cuarto. El número de puntos anotados por los Raiders en cada uno de los cuatro cuartos formó una sucesión geométrica creciente, y el número de puntos anotados por los Wildcats en cada uno de los cuatro cuartos formó una sucesión aritmética creciente. Al final del cuarto período, los Raiders habían ganado por un punto. Ninguno de los dos equipos anotó más de $100$ puntos. ¿Cuál fue el número total de puntos anotados por los dos equipos en la primera mitad?

A high school basketball game between the Raiders and Wildcats was tied at the end of the first quarter. The number of points scored by the Raiders in each of the four quarters formed an increasing geometric sequence, and the number of points scored by the Wildcats in each of the four quarters formed an increasing arithmetic sequence. At the end of the fourth quarter, the Raiders had won by one point. Neither team scored more than $100$ points. What was the total number of points scored by the two teams in the first half?

$30$

$31$

$32$

$33$

$34$

Conceptos:sucesión geométrica sucesión aritmética Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Sea $a$ la puntuación empatada del primer cuarto.

Let the tied first-quarter score be $a$

Pista grande:

Usa los puntajes totales geométrico y aritmético y el margen final de un punto.

Use the geometric and arithmetic total scores and the one-point final margin

Solución:

La puntuación del primer cuarto de cada equipo es $a.$ Los Raiders tienen razón común $r$ y los Wildcats tienen diferencia común $d.$

Escribe $r=\frac{m}{n}$ en su forma más simple. Como las puntuaciones de los cuatro cuartos de los Raiders son enteras, $a=n^3A$ para algún entero positivo $A$ , y su total es $A(n^3+n^2m+nm^2+m^3)\le100$ . Por lo tanto, las únicas razones posibles son $\dfrac{3}{2},2,3,4$ .

Para $r=\dfrac{3}{2}$ o $r=4$ , los únicos totales posibles de los Raiders dan totales de los Wildcats que no son de la forma $4a+6d$ . Para $r=3$ , la ecuación $40a=4a+6d+1$ es imposible módulo $6$ .

Para $r=2$ , la ecuación es $15a=4a+6d+1$ , así que $11a=6d+1$ . La única solución positiva con total a lo sumo $100$ es $a=5,d=9$ .

El total de la primera mitad es $5+10+5+14=34.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let the first-quarter score for each team be $a.$ Let the Raiders have common ratio $r$ and let the Wildcats have common difference $d.$

Write $r=\frac{m}{n}$ in lowest terms. Since the Raiders’ four quarter scores are integers, $a=n^3A$ for some positive integer $A$ , and their total is $A(n^3+n^2m+nm^2+m^3)\le100$ . Thus the only possible ratios are $\dfrac{3}{2},2,3,4$ .

For $r=\dfrac{3}{2}$ or $r=4$ , the only possible Raiders totals give Wildcats totals that are not of the form $4a+6d$ . For $r=3$ , the equation $40a=4a+6d+1$ is impossible modulo $6$ .

For $r=2$ , the equation is $15a=4a+6d+1$ , so $11a=6d+1$ . The only positive solution with total at most $100$ is $a=5,d=9$ .

The first-half total is $5+10+5+14=34.$

Thus, E is the correct answer.

25.

Sea $a \gt 0,$ y sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros tal que $\begin{aligned} P(1) &= P(3) \\ &= P(5) = P(7) = a, \end{aligned}$ y $\begin{aligned} P(2)&=P(4)=P(6)\\ &=P(8)=-a. \end{aligned}$ ¿Cuál es el menor valor posible de $a$ ?

Let $a \gt 0,$ and let $P(x)$ be a polynomial with integer coefficients such that $\begin{aligned} P(1) &= P(3) \\ &= P(5) = P(7) = a, \end{aligned}$ and $\begin{aligned} P(2)&=P(4)=P(6)\\ &=P(8)=-a. \end{aligned}$ What is the smallest possible value of $a?$

$105$

$315$

$945$

$7!$

$8!$

Conceptos:polinomio divisibilidad mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Usa las raíces de $P(x)-a$ .

Use the roots of $P(x)-a$

Pista grande:

Sustituye $2,$ $4,$ $6,$ y $8$ en la forma factorizada para forzar la divisibilidad de $a$ .

Plug $2,$ $4,$ $6,$ and $8$ into the factored form to force divisibility of $a$

Solución:

Como $1,$ $3,$ $5,$ y $7$ son raíces de $P(x)-a$ , escribe $P(x)-a=(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ , donde $Q(x)$ tiene coeficientes enteros.

Sustituyendo $2,$ $4,$ $6,$ y $8$ por $x$ , obtenemos $-2a=-15Q(2)$ $=9Q(4)$ $=-15Q(6)$ $=105Q(8)$ . Por lo tanto, $a$ debe ser un múltiplo de $\operatorname{lcm}(15,9,105)=315$ .

Esta cota inferior es alcanzable: toma $Q(x)=42$ $+(x-2)(x-6)(60-8x)$ y define $P(x)=315$ $+(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ . Este polinomio tiene coeficientes enteros y satisface los valores requeridos.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Because $1,$ $3,$ $5,$ and $7$ are roots of $P(x)-a$ , write $P(x)-a=(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ , where $Q(x)$ has integer coefficients.

Substituting $2,$ $4,$ $6,$ and $8$ for $x$ gives $-2a=-15Q(2)$ $=9Q(4)$ $=-15Q(6)$ $=105Q(8)$ . Hence $a$ must be a multiple of $\operatorname{lcm}(15,9,105)=315$ .

This lower bound is attainable: take $Q(x)=42$ $+(x-2)(x-6)(60-8x)$ and define $P(x)=315$ $+(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ . This polynomial has integer coefficients and satisfies the required values.

Thus, B is the correct answer.