Question

¿Cuántos enteros pares hay entre $200$ y $700$ cuyos dígitos son todos diferentes y provienen del conjunto $\{1,2,5,7,8,9\}$ ?

How many even integers are there between $200$ and $700$ whose digits are all different and come from the set $\{1,2,5,7,8,9\}?$

$12$

$20$

$72$

$120$

$200$

Solución:

Como el dígito de las centenas solo puede ser $2$ o $5,$

Caso 1: el dígito de las centenas es $2$ .

En este caso, el dígito de las unidades solo puede ser $8,$ ya que el número debe ser par. Esto deja $4$ opciones para el dígito de las decenas.

Esto nos da $1 \cdot 4 = 4$ números para este caso.

Caso 2: el dígito de las centenas es $5$ .

De manera similar a lo anterior, $2$ y $8$ son las únicas opciones para el dígito de las unidades, dejando $4$ opciones para el dígito de las decenas.

Esto nos da $2 \cdot 4 = 8$ números para este caso.

Por lo tanto, el número total de enteros es $4 + 8 = 12$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since the hundreds digit can only be a $2$ or $5,$ we can case on this value.

Case 1: hundreds digit is $2$

The only option for the units digit is $8,$ since the number must be even. This leaves $4$ options for the tens digit.

This gives us $1 \cdot 4 = 4$ numbers for this case.

Case 2: hundreds digit is $5$

Similarly to above, $2$ and $8$ are the only options for the units digit, leaving $4$ options for the tens digit.

This gives us $2 \cdot 4 = 8$ numbers for this case.

The total number of integers is then $4 + 8 = 12.$

Thus, A is the correct answer.

2011 AMC 10A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años