Soluciones del 2011 AMC 10A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Un plan de teléfono celular cuesta $\$20$ cada mes, más $5$ ¢ por cada mensaje de texto enviado, más $10$ centavos por cada minuto usado por encima de las $30$ horas. En enero, Michelle envió $100$ mensajes de texto y habló durante $30.5$ horas. ¿Cuánto tuvo que pagar?

A cell phone plan costs $\$20$ each month, plus $5$ ¢ per text message sent, plus $10$ ¢ for each minute used over $30$ hours. In January Michelle sent $100$ text messages and talked for $30.5$ hours. How much did she have to pay?

$\$24.00$

$\$24.50$

$\$25.50$

$\$28.00$

$\$30.00$

Conceptos:dinero conversión de unidades

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Convierte el cargo por mensajes y el cargo por llamadas excedentes a dólares.

Convert the texting charge and excess-call charge into dollars

Pista grande:

Solo la media hora extra se cobra por minuto.

Only the extra half hour is billed by the minute

Solución:

Michelle debe pagar $\$20$ por la tarifa mensual. Sus mensajes de texto cuestan $100\cdot 5=500$ centavos, es decir, $\$5.$ Finalmente, habló $0.5$ horas, es decir, $30$ minutos, por encima de las $30$ horas.

Esto significa que el cargo adicional es $30\cdot10=300$ centavos, es decir, $\$3.$

Su costo total es $\$20 + \$5 + \$3 = \$28.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Michelle has to pay $\$20$ for the monthly fee. Her text messages cost $100\cdot 5=500$ cents, or $\$5.$ Finally she talked for $0.5$ hours, $30$ minutes, over $30$ hours.

This means her extra charge is $30\cdot10=300$ cents, or $\$3.$

Her total cost is $\$20 + \$5 + \$3 = \$28.$

Thus, D is the correct answer.

2.

Una botella pequeña de champú puede contener $35$ mililitros de champú, mientras que una botella grande puede contener $500$ mililitros. Jasmine quiere comprar la mínima cantidad de botellas pequeñas necesaria para llenar completamente una botella grande. ¿Cuántas botellas debe comprar?

A small bottle of shampoo can hold $35$ milliliters of shampoo, whereas a large bottle can hold $500$ milliliters of shampoo. Jasmine wants to buy the minimum number of small bottles necessary to completely fill a large bottle. How many bottles must she buy?

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Conceptos:divisibilidad estimación

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Compara los múltiplos de $35$ con $500.$

Compare multiples of $35$ to $500$

Pista grande:

El primer múltiplo de $35$ que alcanza $500$ da el número de botellas.

The first multiple of $35$ that reaches $500$ gives the number of bottles

Solución:

La cantidad buscada es $\dfrac{500}{35} = \dfrac{100}{7} = 14 \dfrac{2}{7}.$

Esto significa que el menor número de botellas pequeñas que debe comprar es $15.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The desired amount is $\dfrac{500}{35} = \dfrac{100}{7} = 14 \dfrac{2}{7}.$

This means that the smallest number of small bottles she must buy is $15.$

Thus, E is the correct answer.

3.

Supongamos que $[a\ b]$ denota el promedio de $a$ y $b,$ y que $\{a\ b\ c\}$ denota el promedio de $a,$ $b,$ y $c.$ ¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $\{\{1 \ 1 \ 0\} \ [0 \ 1] \ 0\}$

Suppose $[a\ b]$ denotes the average of $a$ and $b,$ and $\{a\ b\ c\}$ denotes the average of $a,$ $b,$ and $c.$ What is the value of the following expression? $\{\{1 \ 1 \ 0\} \ [0 \ 1] \ 0\}$

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{5}{18}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{7}{18}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:operación personalizada media fracción

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Primero calcula los promedios internos.

Evaluate the inner averages first

Pista grande:

Usa $\{1\ 1\ 0\}=\dfrac23$ y $[0\ 1]=\dfrac12$ .

Use $\{1\ 1\ 0\}=\dfrac23$ and $[0\ 1]=\dfrac12$

Solución:

Primero calculamos $\{1 \ 1 \ 0\} = \dfrac{1 + 1 + 0}{3} = \dfrac{2}{3}.$

El otro promedio interno es $[0 \ 1] = \dfrac{1 + 0}{2} = \dfrac{1}{2}.$

Finalmente, $\left\{\dfrac{2}{3} \ \dfrac{1}{2} \ 0\right\} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} + 0}{3} = \dfrac{7}{18}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We have that $\{1 \ 1 \ 0\} = \dfrac{1 + 1 + 0}{3} = \dfrac{2}{3}.$

We also get that $[0 \ 1] = \dfrac{1 + 0}{2} = \dfrac{1}{2}.$

Finally, $\left\{\dfrac{2}{3} \ \dfrac{1}{2} \ 0\right\} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} + 0}{3} = \dfrac{7}{18}.$

Thus, D is the correct answer.

4.

Sean $X$ y $Y$ las siguientes sumas de progresiones aritméticas: $\begin{aligned} X &= 10+12+14+\cdots+100,\\ Y &= 12+14+16+\cdots+102. \end{aligned}$ ¿Cuál es el valor de $Y - X$ ?

Let $X$ and $Y$ be the following sums of arithmetic sequences: $\begin{aligned} X &= 10+12+14+\cdots+100,\\ Y &= 12+14+16+\cdots+102. \end{aligned}$ What is the value of $Y - X?$

$92$

$98$

$100$

$102$

$112$

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

La mayoría de los términos de las dos sumas se cancelan.

Most terms in the two sums cancel

Pista grande:

Solo el primer término de $X$ y el último término de $Y$ no coinciden.

Only the first term of $X$ and the last term of $Y$ do not match

Solución:

Nota que los términos desde $12$ hasta $100$ son comunes a ambas sumas. Al restar, todos estos términos se cancelan.

Esto significa que $Y - X = 102 - 10 = 92.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Note that the terms $12$ through $100$ are common to both sums. When we subtract, all these terms cancel out.

This means that $Y - X = 102 - 10 = 92.$

Thus, A is the correct answer.

5.

En una escuela primaria, los estudiantes de tercer, cuarto y quinto grado corren un promedio de $12,$ $15,$ y $10$ minutos por día, respectivamente. Hay el doble de estudiantes de tercer grado que de cuarto grado, y el doble de cuarto grado que de quinto grado. ¿Cuál es el número promedio de minutos que corren por día estos estudiantes?

At an elementary school, the students in third grade, fourth grade, and fifth grade run an average of $12,$ $15,$ and $10$ minutes per day, respectively. There are twice as many third graders as fourth graders, and twice as many fourth graders as fifth graders. What is the average number of minutes run per day by these students?

$12$

$\dfrac{37}{3}$

$\dfrac{88}{7}$

$13$

$14$

Conceptos:media razón y proporción

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Usa una razón $4:2:1$ para las cantidades de estudiantes de tercer, cuarto y quinto grado.

Use a $4:2:1$ ratio for the numbers of third, fourth, and fifth graders

Pista grande:

Calcula un promedio ponderado con pesos $4,2,1$ .

Compute a weighted average with weights $4,2,1$

Solución:

Sin pérdida de generalidad, supongamos que hay un estudiante de quinto grado. Esto nos dice que hay dos de cuarto grado y cuatro de tercer grado.

Podemos hacer esto, ya que solo nos interesa el promedio, que no depende del número exacto de estudiantes.

El número total de minutos que los estudiantes corren es $12 \cdot 4 + 15 \cdot 2 + 10 = 88$ minutos. El número total de estudiantes es $1 + 2 + 4 = 7.$ El promedio es entonces $\dfrac{88}{7}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

WLOG, let there be one fifth grader. This then tells us that there are two fourth graders and four third graders.

We can do this, since we are only interested in the average, which is not impacted by the exact number of students.

The total number of minutes the students spend running is $12 \cdot 4 + 15 \cdot 2 + 10 = 88$ minutes. The total number of students is $1 + 2 + 4 = 7.$ The average is then $\dfrac{88}{7}.$

Thus, C is the correct answer.

6.

El conjunto $A$ tiene $20$ elementos, y el conjunto $B$ tiene $15$ elementos. ¿Cuál es el menor número posible de elementos en $A \cup B,$ la unión de $A$ y $B$ ?

Set $A$ has $20$ elements, and set $B$ has $15$ elements. What is the smallest possible number of elements in $A \cup B,$ the union of $A$ and $B?$

$5$

$15$

$20$

$35$

$300$

Conceptos:Diagrama de Venn acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

La unión debe contener todos los elementos del conjunto más grande.

The union must contain all elements of the larger set

Pista grande:

Haz que $B$ sea un subconjunto de $A$ para minimizar la unión.

Make $B$ a subset of $A$ to minimize the union

Solución:

Para minimizar el número de elementos en la unión, queremos maximizar la superposición entre los dos conjuntos.

Entonces podemos suponer que $B$ está contenido completamente dentro de $A,$ lo que significa que la unión es igual a $A,$ que tiene $20$ elementos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

To minimize the number of elements in the union, we want to maximize the overlap between the two sets.

We can then assume that $B$ is contained completely within $A,$ which means that the union is the same as $A,$ which has $20$ elements.

Thus, C is the correct answer.

7.

¿Cuál de las siguientes ecuaciones no tiene solución?

Which of the following equations does not have a solution?

$(x + 7)^2 = 0$

$|-3x| + 5 = 0$

$\sqrt{-x} - 2 = 0$

$\sqrt{x} - 8 = 0$

$|-3x| - 4 = 0$

Conceptos:valor absoluto radical

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Verifica cuál ecuación pide que una expresión no negativa sea negativa.

Check which equation asks a nonnegative expression to be negative

Pista grande:

Un valor absoluto más $5$ no puede ser igual a $0$ .

An absolute value plus $5$ cannot equal $0$

Solución:

La opción A se reduce a $x + 7 = 0$ $x = -7,$ así que tiene solución.

La opción B se reduce a $|-3x| = -5,$ que no tiene solución, ya que el valor absoluto no puede ser negativo.

Verifiquemos que todas las demás opciones tienen solución.

La opción C se reduce a $\sqrt{-x} = 2$ $-x = 4$ $x = -4,$ lo cual está bien.

La opción D se reduce a $\sqrt{x} = 8$ $x = 64,$ lo cual funciona.

Finalmente, la opción E se reduce a $|-3x| = 4$ $-3x = \pm 4$ $x = \pm \dfrac{4}{3},$ lo cual también tiene solución.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

A simplifies to $x + 7 = 0$ $x = -7,$ so it has a solution.

B simplifies to $|-3x| = -5,$ which has no solution since absolute value makes everything positive.

Let us make sure that all the other choices have solutions.

C simplifies to $\sqrt{-x} = 2$ $-x = 4$ $x = -4,$ which is fine.

D simplifies to $\sqrt{x} = 8$ $x = 64,$ which works.

Finally, E simplifies to $|-3x| = 4$ $-3x = \pm 4$ $x = \pm \dfrac{4}{3},$ which has a solution as well.

Thus, B is the correct answer.

8.

El verano pasado, $30 \%$ de las aves que vivían en Town Lake eran gansos, $25 \%$ eran cisnes, $10 \%$ eran garzas y $35 \%$ eran patos. ¿Qué porcentaje de las aves que no eran cisnes eran gansos?

Last summer $30 \%$ of the birds living on Town Lake were geese, $25 \%$ were swans, $10 \%$ were herons, and $35 \%$ were ducks. What percent of the birds that were not swans were geese?

$20$

$30$

$40$

$50$

$60$

Conceptos:porcentaje razón y proporción

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Usa el porcentaje que no son cisnes como denominador.

Use the percent that are not swans as the denominator

Pista grande:

El porcentaje buscado es $\frac{30}{100-25}$ .

The desired percent is $\frac{30}{100-25}$

Solución:

Sin pérdida de generalidad, supongamos que hay $100$ aves. Entonces $75$ aves no son cisnes. El porcentaje buscado es entonces $\dfrac{30}{75} \cdot 100 = 40 \%.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

WLOG, let there be $100$ birds. Then $75$ birds are not swans. The desired percentage is then $\dfrac{30}{75} \cdot 100 = 40 \%.$

Thus, C is the correct answer.

9.

Una región rectangular está delimitada por las gráficas de las ecuaciones $y=a,$ $y=-b,$ $x=-c,$ y $x=d,$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son todos números positivos. ¿Cuál de las siguientes representa el área de esta región?

A rectangular region is bounded by the graphs of the equations $y=a,$ $y=-b,$ $x=-c,$ and $x=d,$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are all positive numbers. Which of the following represents the area of this region?

$ac+ad+bc+bd$

$ac-ad+bc-bd$

$ac+ad-bc-bd$

$-ac-ad+bc+bd$

$ac-ad-bc+bd$

Conceptos:geometría analítica rectángulo propiedad distributiva

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Encuentra las longitudes de los lados vertical y horizontal del rectángulo.

Find the vertical and horizontal side lengths of the rectangle

Pista grande:

Las longitudes de los lados son $a+b$ y $c+d$ .

The side lengths are $a+b$ and $c+d$

Solución:

La región es un rectángulo cuyas longitudes de lado son $a - (-b) = a + b$ y $d - (-c) = c + d.$ Por lo tanto, el área es $(a + b)(c + d) =$ $ac + ad + bc + bd.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Note that the region is a rectangle with side lengths $a - (-b) = a + b$ and $d - (-c) = c + d.$ The area is then $(a + b)(c + d) =$ $ac + ad + bc + bd.$

Thus, A is the correct answer.

10.

La mayoría de los $30$ estudiantes de la clase de la Sra. Demeanor compraron lápices en la librería escolar. Cada uno de estos estudiantes compró el mismo número de lápices, y este número era mayor que $1.$ El costo de un lápiz en centavos era mayor que el número de lápices que compró cada estudiante, y el costo total de todos los lápices fue $\$17.71.$ ¿Cuál era el costo de un lápiz en centavos?

A majority of the $30$ students in Ms. Demeanor’s class bought pencils at the school bookstore. Each of these students bought the same number of pencils, and this number was greater than $1.$ The cost of a pencil in cents was greater than the number of pencils each student bought, and the total cost of all the pencils was $\$17.71.$ What was the cost of a pencil in cents?

$7$

$11$

$17$

$23$

$77$

Conceptos:factorización en primos divisibilidad

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Factoriza $1771$ .

Factor $1771$

Pista grande:

El número de estudiantes es una mayoría de $30$ , así que usa el factor mayor que $15$ .

The number of students is a majority of $30$ , so use the factor greater than $15$

Solución:

Sea $p$ el número de lápices que compró cada estudiante, $s$ el número de estudiantes que compraron lápices y $c$ el costo de un lápiz.

Entonces $psc = 1771 = 7 \cdot 11 \cdot 23.$

También tenemos las siguientes restricciones: $30 \geq s \gt 15, p \gt 1, c \gt p.$

De la factorización en primos anterior, tenemos que $s = 23$ es el único valor que satisface las condiciones.

Finalmente, obtenemos que $p = 7$ y $c = 11$ son los únicos valores restantes que satisfacen las demás condiciones.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $p$ be the number of pencils that each student bought, $s$ be the number of students that bought pencils, and $c$ be the cost of a pencil.

We have that $psc = 1771 = 7 \cdot 11 \cdot 23.$

We also have the following restrictions: $30 \geq s \gt 15, p \gt 1, c \gt p.$

From the above prime factorization, we have that $s = 23$ is the only value that satisfies the conditions.

Finally, we get that $p = 7$ and $c = 11$ are the only remaining values that satisfy the other conditions.

Thus, B is the correct answer.

11.

El cuadrado $EFGH$ tiene un vértice en cada lado del cuadrado $ABCD.$ El punto $E$ está en $\overline{AB}$ con $AE=7\cdot EB.$ ¿Cuál es la razón entre el área de $EFGH$ y el área de $ABCD$ ?

Square $EFGH$ has one vertex on each side of square $ABCD.$ Point $E$ is on $\overline{AB}$ with $AE=7\cdot EB.$ What is the ratio of the area of $EFGH$ to the area of $ABCD?$

$\dfrac{49}{64}$

$\dfrac{25}{32}$

$\dfrac78$

$\dfrac{5\sqrt{2}}{8}$

$\dfrac{\sqrt{14}}{4}$

Conceptos:cuadrado (geometría)Teorema de Pitágoras razón de áreas

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Sea $EB=x$ , de modo que $AB=8x$ .

Let $EB=x$ , so $AB=8x$

Pista grande:

Un lado del cuadrado interior es la hipotenusa de un triángulo de $7x$ por $x$ .

A side of the inner square is the hypotenuse of a $7x$ -by- $x$ triangle

Solución:

Sea $x = EB.$ Entonces $AB = 8x.$ Aplicando el Teorema de Pitágoras a un lado de $EFGH,$ obtenemos $\sqrt{(7x)^2 + x^2} = \sqrt{50x^2}$

La razón buscada es entonces $\dfrac{\sqrt{50x^2}^2}{(8x)^2} = \dfrac{50}{64} = \dfrac{25}{32}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $x = EB.$ Then $AB = 8x.$ Applying the Pythagorean Theorem to a side of $EFGH,$ we get $\sqrt{(7x)^2 + x^2} = \sqrt{50x^2}$

The desired ratio is then $\dfrac{\sqrt{50x^2}^2}{(8x)^2} = \dfrac{50}{64} = \dfrac{25}{32}.$

Thus, B is the correct answer.

12.

Los jugadores de un equipo de baloncesto encestaron algunos tiros de tres puntos, algunos tiros de dos puntos y algunos tiros libres de un punto. Anotaron tantos puntos con los tiros de dos puntos como con los de tres puntos. Su número de tiros libres exitosos fue uno más que su número de tiros de dos puntos exitosos. La puntuación total del equipo fue $61$ puntos. ¿Cuántos tiros libres encestaron?

The players on a basketball team made some three-point shots, some two-point shots, and some one-point free throws. They scored as many points with two-point shots as with three-point shots. Their number of successful free throws was one more than their number of successful two-point shots. The team’s total score was $61$ points. How many free throws did they make?

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Conceptos:ecuación lineal

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Sea $x$ el número de tiros de dos puntos.

Let $x$ be the number of two-point shots

Pista grande:

Los puntos de los tiros de dos puntos igualan los puntos de los tiros de tres puntos.

The points from two-point shots equal the points from three-point shots

Solución:

Sea $x$ el número de tiros de dos puntos exitosos. Entonces $2x + 2x + (x + 1) = 61,$ lo cual se simplifica a $5x + 1 = 61$ $x = 12.$

El número de tiros libres exitosos es entonces $12 + 1 = 13.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $x$ be the number of successful two-point shots. Then we have that $2x + 2x + (x + 1) = 61,$ which simplifies to $5x + 1 = 61$ $x = 12.$

The number of successful free throws is then $12 + 1 = 13.$

Thus, A is the correct answer.

13.

¿Cuántos enteros pares hay entre $200$ y $700$ cuyos dígitos son todos diferentes y provienen del conjunto $\{1,2,5,7,8,9\}$ ?

How many even integers are there between $200$ and $700$ whose digits are all different and come from the set $\{1,2,5,7,8,9\}?$

$12$

$20$

$72$

$120$

$200$

Conceptos:dígitos análisis por casos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

El dígito de las unidades debe ser $2$ u $8$ .

The units digit must be $2$ or $8$

Pista grande:

Divide en casos según si el dígito de las centenas es $2$ o $5$ .

Case on whether the hundreds digit is $2$ or $5$

Solución:

Como el dígito de las centenas solo puede ser $2$ o $5,$ podemos dividir en casos según ese valor.

Caso $1:$ el dígito de las centenas es $2$ .

En este caso, el dígito de las unidades solo puede ser $8,$ ya que el número debe ser par. Esto deja $4$ opciones para el dígito de las decenas.

Esto nos da $1 \cdot 4 = 4$ números para este caso.

Caso $2:$ el dígito de las centenas es $5$ .

De manera similar a lo anterior, $2$ y $8$ son las únicas opciones para el dígito de las unidades, dejando $4$ opciones para el dígito de las decenas.

Esto nos da $2 \cdot 4 = 8$ números para este caso.

Por lo tanto, el número total de enteros es $4 + 8 = 12.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since the hundreds digit can only be a $2$ or $5,$ we can case on this value.

Case $1:$ hundreds digit is $2$

The only option for the units digit is $8,$ since the number must be even. This leaves $4$ options for the tens digit.

This gives us $1 \cdot 4 = 4$ numbers for this case.

Case $2:$ hundreds digit is $5$

Similarly to above, $2$ and $8$ are the only options for the units digit, leaving $4$ options for the tens digit.

This gives us $2 \cdot 4 = 8$ numbers for this case.

The total number of integers is then $4 + 8 = 12.$

Thus, A is the correct answer.

14.

Se lanza una vez un par de dados justos estándar de $6$ caras. La suma de los números obtenidos determina el diámetro de un círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que el valor numérico del área del círculo sea menor que el valor numérico de la circunferencia del círculo?

A pair of standard $6$ -sided fair dice is rolled once. The sum of the numbers rolled determines the diameter of a circle. What is the probability that the numerical value of the area of the circle is less than the numerical value of the circle’s circumference?

$\dfrac{1}{36}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{5}{18}$

Conceptos:dados (probabilidad)área del círculo desigualdad

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Compara $\pi(\frac{d}{2})^2$ con $\pi d$ .

Compare $\pi(\frac{d}{2})^2$ with $\pi d$

Pista grande:

La desigualdad se reduce a $d<4$ .

The inequality reduces to $d<4$

Solución:

Para que el área sea menor que la circunferencia, debemos tener $\pi r^2 \lt 2\pi r$ $r \lt 2.$

Esto significa que el diámetro debe ser menor que $4.$ Hay tres lanzamientos posibles que satisfacen esto: $(1, 1), (1, 2), (2, 1).$

La probabilidad es entonces $\dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

For the area to be less than the circumference, we must have $\pi r^2 \lt 2\pi r$ $r \lt 2.$

This means the diameter must be less than $4.$ There are three possible rolls that satisfy this: $(1, 1), (1, 2), (2, 1).$

The probability is then $\dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}.$

Thus, B is the correct answer.

15.

Roy compró un nuevo automóvil híbrido de batería y gasolina. En un viaje, el automóvil funcionó exclusivamente con su batería durante las primeras $40$ millas, luego funcionó exclusivamente con gasolina durante el resto del viaje, consumiendo gasolina a una tasa de $0.02$ galones por milla. En todo el viaje promedió $55$ millas por galón. ¿Cuál fue la longitud del viaje en millas?

Roy bought a new battery-gasoline hybrid car. On a trip the car ran exclusively on its battery for the first $40$ miles, then ran exclusively on gasoline for the rest of the trip, using gasoline at a rate of $0.02$ gallons per mile. On the whole trip he averaged $55$ miles per gallon. How long was the trip in miles?

$140$

$240$

$440$

$640$

$840$

Conceptos:tasa ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Sea $x$ la distancia recorrida solo con gasolina.

Let $x$ be the gasoline-only distance

Pista grande:

La ecuación de millas por galón es $\frac{x+40}{0.02x}=55$ .

The miles per gallon equation is $\frac{x+40}{0.02x}=55$

Solución:

Sea $x$ la distancia que el automóvil recorrió únicamente con gasolina. Tenemos que $\dfrac{40 + x}{0.02x} = 55.$ Multiplicando en cruz y simplificando obtenemos $40 = 0.1x$ $x = 400.$ La longitud total del viaje es entonces $400 + 40 = 440.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $x$ be the distance the car drove solely on gasoline. We have that $\dfrac{40 + x}{0.02x} = 55.$ Cross-multiplying and simplifying gives $40 = 0.1x$ $x = 400.$ The total length of the trip is then $400 + 40 = 440.$

Thus, C is the correct answer.

16.

¿Cuál de las siguientes es igual a $\sqrt{9-6\sqrt{2}}+\sqrt{9+6\sqrt{2}}$ ?

Which of the following is equal to $\sqrt{9-6\sqrt{2}}+\sqrt{9+6\sqrt{2}}?$

$3\sqrt2$

$2\sqrt6$

$\dfrac{7\sqrt2}{2}$

$3\sqrt3$

$6$

Conceptos:radical manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Eleva al cuadrado toda la expresión.

Square the whole expression

Pista grande:

El producto $(9-6\sqrt2)(9+6\sqrt2)$ es pequeño.

The product $(9-6\sqrt2)(9+6\sqrt2)$ is small

Solución:

Como tenemos raíces cuadradas, podemos intentar transformar el interior de cada radical en un cuadrado perfecto.

Nota que podemos reescribir la expresión como $\begin{aligned} & \sqrt{6 - 6\sqrt2 + 3} \\ &{}+ \sqrt{6 + 6\sqrt2 + 3}. \end{aligned}$

Factorizar y simplificar nos da $\sqrt{(\sqrt6 - \sqrt3)^2} + \sqrt{(\sqrt6 + \sqrt3)^2}$ $= \sqrt6 - \sqrt3 + \sqrt6 + \sqrt3 = 2\sqrt6.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Since we have square roots, we can try to change the inside of each radical to be a perfect square.

Note that we can rewrite the expression as $\begin{aligned} & \sqrt{6 - 6\sqrt2 + 3} \\ &{}+ \sqrt{6 + 6\sqrt2 + 3}. \end{aligned}$

Factoring and simplifying gives us $\sqrt{(\sqrt6 - \sqrt3)^2} + \sqrt{(\sqrt6 + \sqrt3)^2}$ $= \sqrt6 - \sqrt3 + \sqrt6 + \sqrt3 = 2\sqrt6.$

Thus, B is the correct answer.

17.

En la sucesión de ocho términos $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ $F,$ $G,$ $H,$ el valor de $C$ es $5$ y la suma de cualesquiera tres términos consecutivos es $30.$ ¿Cuánto vale $A+H$ ?

In the eight term sequence $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ $F,$ $G,$ $H,$ the value of $C$ is $5$ and the sum of any three consecutive terms is $30.$ What is $A+H?$

$17$

$18$

$25$

$26$

$43$

Conceptos:recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Compara dos sumas consecutivas de tres términos.

Compare two consecutive three-term sums

Pista grande:

La sucesión se repite cada tres términos, así que $A=D=G$ y $C=F$ .

The sequence repeats every three terms, so $A=D=G$ and $C=F$

Solución:

A partir de la condición sobre la sucesión, obtenemos $A + B + C = 30$ $B = 25 - A.$ De manera similar, $B + C + D = 30$ $D = A.$

Propagando estos valores a lo largo de la sucesión y repitiendo la condición para cada terna consecutiva, obtenemos $E = 25 - A, F = 5, G = A,$ y finalmente $H = 25 - A.$

La suma buscada es entonces $A + 25 - A = 25.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

From the condition about the sequence, we get that $A + B + C = 30$ $B = 25 - A.$ Similarly, we get $B + C + D = 30$ $D = A.$

Propagating these values through the sequence and repeating the condition for every consecutive triple, we get that $E = 25 - A, F = 5, G = A,$ and finally, $H = 25 - A.$

The desired sum is then $A + 25 - A = 25.$

Thus, C is the correct answer.

18.

Los círculos $A,$ $B,$ y $C$ tienen radio $1$ cada uno. Los círculos $A$ y $B$ comparten un punto de tangencia. El círculo $C$ tiene un punto de tangencia con el punto medio de $\overline{AB}.$ ¿Cuál es el área que está dentro del círculo $C$ pero fuera del círculo $A$ y del círculo $B$ ?

Circles $A,$ $B,$ and $C$ each have radius $1.$ Circles $A$ and $B$ share one point of tangency. Circle $C$ has a point of tangency with the midpoint of $\overline{AB}.$ What is the area inside circle $C$ but outside circle $A$ and circle $B?$

$3 - \dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{\pi}{2}$

$2$

$\dfrac{3\pi}{4}$

$1+\dfrac{\pi}{2}$

Conceptos:área del círculo sector circular descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Usa los cuadrados unitarios formados por los centros y los puntos de intersección.

Use the unit squares formed by the centers and intersection points

Pista grande:

Dos restas de cuartos de círculo más un semicírculo dejan un área simple.

Two quarter-circle subtractions plus a semicircle leave a simple area

Solución:

El área de esta región es el área del círculo $C$ menos el área de las regiones que se superponen con $A$ y $B.$

A partir del diagrama, podemos hallar el área de la mitad de una de las regiones superpuestas hallando el área del sector y restando el área del triángulo.

Esta área es entonces $\dfrac{1}{4} \pi \cdot 1^2 - \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2}.$

Hay cuatro de estas que debemos restar, lo que nos deja una respuesta final de $\pi \cdot 1^2 - 4(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2}) = 2.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The area of this region is the area of circle $C$ minus the area of the overlapping regions with $A$ and $B.$

From the diagram, we can find the area of half of one of the overlapping regions by finding the area of the sector and subtracting the area of the triangle.

This area is then $\dfrac{1}{4} \pi \cdot 1^2 - \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2}.$

There are four of these that we must subtract, which leaves us with a final answer of $\pi \cdot 1^2 - 4(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2}) = 2.$

Thus, C is the correct answer.

19.

En $1991$ la población de un pueblo era un cuadrado perfecto. Diez años después, tras un aumento de $150$ personas, la población era $9$ más que un cuadrado perfecto. Ahora, en $2011,$ con un aumento de otras $150$ personas, la población es nuevamente un cuadrado perfecto. ¿Cuál de las siguientes está más cerca del porcentaje de crecimiento de la población del pueblo durante este período de veinte años?

In $1991$ the population of a town was a perfect square. Ten years later, after an increase of $150$ people, the population was $9$ more than a perfect square. Now, in $2011,$ with an increase of another $150$ people, the population is once again a perfect square. Which of the following is closest to the percent growth of the town’s population during this twenty-year period?

$42$

$47$

$52$

$57$

$62$

Conceptos:diferencia de cuadrados cuadrado perfecto porcentaje

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Sea la población de $1991$ igual a $p^2$ .

Let the $1991$ population be $p^2$

Pista grande:

Usa $(q-p)(q+p)=141$ y prueba los pares de factores.

Use $(q-p)(q+p)=141$ and test the factor pairs

Solución:

Sea la población en $1991$ igual a $p^2.$ Luego, sea la población en $2001$ igual a $q^2 + 9.$

Usando estos valores, tenemos $p^2 + 150 = q^2 + 9$ $q^2 - p^2 = 141.$

Factorizando, obtenemos $(q - p)(q + p) = 141.$

Como $p$ y $q$ son enteros, tenemos que los únicos valores posibles para $q - p$ y $q + p$ son $(1, 141)$ y $(3, 47).$

Probando el primer par, tenemos $q-p=1$ y $q+p=141,$ lo cual, al sumar y dividir, nos da $q = 71$ y $p = 70.$

Tenemos que $p^2 + 300$ no es un número cuadrado, lo que significa que este par es el incorrecto.

Probando el otro par y usando la misma estrategia obtenemos $q = 25$ y $p = 22.$

Ahora, $p^2 + 300 = 784,$ que es un cuadrado perfecto. El aumento porcentual de la población es entonces $\dfrac{300}{22^2} \cdot 100 \% \approx 62 \%.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let the population in $1991$ be $p^2.$ Then let the population in $2001$ be $q^2 + 9.$

Using these values, we have $p^2 + 150 = q^2 + 9$ $q^2 - p^2 = 141.$

Factoring, we get $(q - p)(q + p) = 141.$

As $p$ and $q$ are integers, we have that the only possible values for $q - p$ and $q + p$ are $(1, 141)$ and $(3, 47).$

Trying the first pair, we have $q-p=1$ and $q+p=141,$ which adding together and dividing gives us $q = 71$ and $p = 70.$

We have that $p^2 + 300$ is not a square number, which means that this pair is the wrong one.

Trying the other pair and using the same strategy gives us $q = 25$ and $p = 22.$

Now, $p^2 + 300 = 784,$ which is a perfect square. The percent increase in population is then $\dfrac{300}{22^2} \cdot 100 \% \approx 62 \%.$

Thus, E is the correct answer.

20.

Se seleccionan de forma independiente y al azar dos puntos en la circunferencia de un círculo de radio $r$ . Desde cada punto se traza una cuerda de longitud $r$ en dirección horaria. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cuerdas se intersequen?

Two points on the circumference of a circle of radius $r$ are selected independently and at random. From each point a chord of length $r$ is drawn in a clockwise direction. What is the probability that the two chords intersect?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:probabilidad geométrica cuerda arco

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Una cuerda de longitud $r$ subtiende $60^\circ$ .

A chord of length $r$ subtends $60^\circ$

Pista grande:

Fija una cuerda y busca las posiciones del arco desde las cuales la segunda cuerda la cruza.

Fix one chord and look for the arc positions from which the second chord crosses it

Solución:

Una cuerda de longitud $r$ en un círculo de radio $r$ subtiende un arco de $60^\circ$ . Fijemos la primera cuerda, con extremos en los ángulos $0^\circ$ y $60^\circ.$ Si la segunda cuerda comienza en el ángulo $\theta,$ su otro extremo está $60^\circ$ en sentido horario desde allí.

Los extremos de las dos cuerdas se alternan exactamente cuando $\theta$ pertenece a uno de los dos arcos de $60^\circ$ inmediatamente adyacentes a los extremos de la cuerda fija. Por tanto, las posiciones iniciales favorables ocupan $120^\circ$ del círculo.

La probabilidad buscada es $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

A chord of length $r$ in a circle of radius $r$ subtends a $60^\circ$ arc. Fix the first chord, with endpoints at angles $0^\circ$ and $60^\circ.$ If the second chord starts at angle $\theta,$ its other endpoint is $60^\circ$ clockwise from there.

The endpoints of the two chords alternate exactly when $\theta$ lies in either of the two $60^\circ$ arcs immediately adjacent to the fixed chord’s endpoints. Thus the favorable starting positions occupy $120^\circ$ of the circle.

The desired probability is then $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.$

Thus, D is the correct answer.

21.

Dos monedas falsas de igual peso se mezclan con $8$ monedas genuinas idénticas. El peso de cada una de las monedas falsas es diferente del peso de cada una de las monedas genuinas. Se selecciona al azar un par de monedas sin reemplazo de las $10$ monedas. Se selecciona un segundo par al azar sin reemplazo de las $8$ monedas restantes. El peso combinado del primer par es igual al peso combinado del segundo par. ¿Cuál es la probabilidad de que las $4$ monedas seleccionadas sean todas genuinas?

Two counterfeit coins of equal weight are mixed with $8$ identical genuine coins. The weight of each of the counterfeit coins is different from the weight of each of the genuine coins. A pair of coins is selected at random without replacement from the $10$ coins. A second pair is selected at random without replacement from the remaining $8$ coins. The combined weight of the first pair is equal to the combined weight of the second pair. What is the probability that all $4$ selected coins are genuine?

$\dfrac{7}{11}$

$\dfrac{9}{13}$

$\dfrac{11}{15}$

$\dfrac{15}{19}$

$\dfrac{15}{16}$

Conceptos:probabilidad condicional combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Que los pares tengan igual peso requiere el mismo número de monedas falsas en cada par.

Equal pair weights require the same number of counterfeit coins in each pair

Pista grande:

Cuenta el caso en que todas son genuinas y el caso en que cada par tiene una moneda falsa.

Count the all-genuine case and the one-counterfeit-in-each-pair case

Solución:

Hay dos casos: o ambos pares seleccionados contienen solo monedas genuinas, o cada par seleccionado tiene una moneda falsa.

Para el primer caso, hay $\binom{8}{2} = 28$ formas de elegir las monedas del primer par y $\binom{6}{2} = 15$ opciones para el segundo par.

También debemos dividir entre $2$ , ya que podemos intercambiar los pares. Esto nos da $28 \cdot 15 \div 2 = 210$ configuraciones para este caso.

Para el segundo caso, hay $\binom{8}{2} = 28$ formas de elegir las monedas no falsas. Solo hay una opción para las monedas falsas.

Hay dos maneras de formar los dos pares, según cuál moneda falsa se empareje con cada moneda genuina.

Esto significa que hay $28 \cdot 2 = 56$ configuraciones para este caso.

La probabilidad buscada es entonces $\dfrac{210}{210 + 56} = \dfrac{210}{266} = \dfrac{15}{19}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

There are two cases: either both selected pairs contain only genuine coins or each selected pair has one counterfeit coin.

For the first case, there are $\binom{8}{2} = 28$ ways to choose the coins for the first pair and $\binom{6}{2} = 15$ choices for the second pair.

We also have to divide by $2$ since we can swap the pairs. This gives us $28 \cdot 15 \div 2 = 210$ configurations for this case.

For the second case, there are $\binom{8}{2} = 28$ ways to choose the non-counterfeit coins. There is only one choice for the counterfeit coins.

There are two ways to create the two pairs, two choices for which counterfeit coin goes with a genuine coin.

This means that there are $28 \cdot 2 = 56$ configurations for this case.

The desired probability is then $\dfrac{210}{210 + 56} = \dfrac{210}{266} = \dfrac{15}{19}.$

Thus, D is the correct answer.

22.

A cada vértice del pentágono convexo $ABCDE$ se le debe asignar un color. Hay $6$ colores para elegir, y los extremos de cada diagonal deben tener colores diferentes. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

Each vertex of convex pentagon $ABCDE$ is to be assigned a color. There are $6$ colors to choose from, and the ends of each diagonal must have different colors. How many different colorings are possible?

$2520$

$2880$

$3120$

$3250$

$3750$

Conceptos:teoría de grafos análisis por casos permutaciones

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Divide en casos según si se usan $5$ , $4$ o $3$ colores.

Case on whether $5$ , $4$ , or $3$ colors are used

Pista grande:

Los colores repetidos solo pueden aparecer en vértices adyacentes.

Repeated colors can occur only on adjacent vertices

Solución:

Nota que solo hay $3$ casos: todos los vértices son diferentes, hay un par de vértices adyacentes con el mismo color, o hay $2$ pares (cada par con un color diferente).

Caso $1:$ todos los vértices tienen colores diferentes.

Este caso simplemente nos da $6! = 720$ coloraciones diferentes.

Caso $2:$ un par de vértices adyacentes tiene el mismo color.

Hay $\dfrac{6!}{2} = 360$ formas de elegir los colores para este caso. Luego hay $5$ opciones para el par de vértices.

Esto nos da un total de $360 \cdot 5 = 1800$ coloraciones para este caso.

Caso $3:$ dos pares de vértices adyacentes tienen el mismo color.

Hay $5$ opciones para el vértice que no está en un par. Luego hay $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ opciones para los colores. Entonces hay un total de $120 \cdot 5 = 600$ coloraciones para este caso.

Hay un total de $720 + 1800 + 600 = 3120$ coloraciones en todos los casos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that there are only $3$ cases: all the vertices are different, there is one pair of adjacent vertices with the same colors, or there are $2$ pairs (each pair has a different color).

Case $1:$ all vertices have different colors

This case just gives us $6! = 720$ different colorings.

Case $2:$ one pair of adjacent vertices has the same color

There are $\dfrac{6!}{2} = 360$ ways to choose the colors for this case. There are then $5$ options for the pair of vertices.

This gives us a total of $360 \cdot 5 = 1800$ colorings for this case.

Case $3:$ two pairs of adjacent vertices have the same color

There are $5$ choices for the vertex that is not in a pair. There are then $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ choices for the colors. There are then a total of $120 \cdot 5 = 600$ colorings for this case.

There are a total of $720 + 1800 + 600 = 3120$ colorings for all the cases.

Thus, C is the correct answer.

23.

Siete estudiantes cuentan de $1$ a $1000$ de la siguiente manera:

• Alice dice todos los números, excepto que omite el número del medio en cada grupo de tres números consecutivos. Es decir, Alice dice $1,$ $3,$ $4,$ $6,$ $7,$ $9,$ $\ldots,$ $997,$ $999,$ $1000.$

• Barbara dice todos los números que Alice no dice, excepto que ella también omite el número del medio en cada grupo de tres números consecutivos.

• Candice dice todos los números que ni Alice ni Barbara dicen, excepto que ella también omite el número del medio en cada grupo de tres números consecutivos.

• Debbie, Eliza y Fatima dicen todos los números que no dice ninguno de los estudiantes cuyo nombre empieza antes que el suyo en el alfabeto, excepto que cada una también omite el número del medio en cada uno de sus grupos de tres números consecutivos.

• Finalmente, George dice el único número que nadie más dice.

¿Qué número dice George?

Seven students count from $1$ to $1000$ as follows:

• Alice says all the numbers, except she skips the middle number in each consecutive group of three numbers. That is, Alice says $1,$ $3,$ $4,$ $6,$ $7,$ $9,$ $\ldots,$ $997,$ $999,$ $1000.$

• Barbara says all of the numbers that Alice doesn’t say, except she also skips the middle number in each consecutive group of three numbers.

• Candice says all of the numbers that neither Alice nor Barbara says, except she also skips the middle number in each consecutive group of three numbers.

• Debbie, Eliza, and Fatima say all of the numbers that none of the students with the first names beginning before theirs in the alphabet say, except each also skips the middle number in each of her consecutive groups of three numbers.

• Finally, George says the only number that no one else says.

What number does George say?

$37$

$242$

$365$

$728$

$998$

Conceptos:sucesión aritmética simulación de procesos reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Rastrea el primer término restante y la diferencia común.

Track the first remaining term and the common difference

Pista grande:

Cada estudiante triplica la diferencia común y se desplaza al término del medio.

Each student triples the common difference and shifts to the middle term

Solución:

Podemos recorrer todas las iteraciones para hallar lo que queda.

Alice no dice los números $2, 5, 8, 11, 14, 17, \ldots, 998.$

Después de que Barbara dice sus números, los que quedan son $5, 14, 23, 32, 41, \ldots, 995.$

Nota que ambas son progresiones aritméticas en las que la diferencia común aumenta por un múltiplo de $3.$

Este patrón continúa: los números que quedan después de que Candice dice los suyos son $14, 41, 68, 95, \ldots, 986.$

Luego, después de Debbie, quedan $41, 122, 203, \ldots, 932$ y después de Eliza quedan $122, 365, 608, 851.$

Finalmente, el único número que queda después de que Fatima participa es $365,$ que es el número que George tendrá que decir.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can walk through all the iterations to find what is left.

Alice does not say the numbers $2, 5, 8, 11, 14, 17, \ldots, 998.$

After Barbara says her numbers, the remaining ones are $5, 14, 23, 32, 41, \ldots, 995.$

Note that both of these are arithmetic sequences where the common difference is increased by a multiple of $3.$

This pattern continues as the numbers remaining after Candice says hers are $14, 41, 68, 95, \ldots, 986.$

Then after Debbie, they are $41, 122, 203, \ldots, 932$ and after Eliza, they are $122, 365, 608, 851.$

Finally, the only number left after Fatima goes is $365,$ which is the number that George will have to say.

Thus, C is the correct answer.

24.

Dos tetraedros regulares distintos tienen todos sus vértices entre los vértices del mismo cubo unitario. ¿Cuál es el volumen de la región formada por la intersección de los tetraedros?

Two distinct regular tetrahedra have all their vertices among the vertices of the same unit cube. What is the volume of the region formed by the intersection of the tetrahedra?

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{\sqrt2}{12}$

$\dfrac{\sqrt3}{12}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{\sqrt2}{6}$

Conceptos:Geometría 3D volumen geometría del cubo semejanza

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Los dos tetraedros usan los dos conjuntos alternos de vértices del cubo.

The two tetrahedra use the two alternating vertex sets of the cube

Pista grande:

Cada cara recorta un tetraedro de esquina a mitad de escala del otro tetraedro.

Each face cuts off a half-scale corner tetrahedron from the other tetrahedron

Solución:

Los dos tetraedros regulares usan los dos conjuntos alternos de cuatro vértices del cubo. Cada uno tiene longitud de arista $\sqrt2$ , una diagonal de cara del cubo.

El volumen de un tetraedro regular con longitud de arista $s$ es $\dfrac{\sqrt2}{12}s^3$ . Por lo tanto, un tetraedro grande tiene volumen $\dfrac{\sqrt2}{12}(\sqrt2)^3=\dfrac13$ .

Intersecamos un tetraedro con el otro. Cada cara del primero corta del segundo un tetraedro de esquina similar al original con factor de escala $\dfrac12$ , de modo que cada pieza recortada tiene $\dfrac18$ del volumen del tetraedro grande.

Hay cuatro de estas piezas de esquina, así que la intersección tiene $1-4\cdot\dfrac18=\dfrac12$ del volumen de un tetraedro grande. Por lo tanto, el volumen de la intersección es $\dfrac12\cdot\dfrac13=\dfrac16$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The two regular tetrahedra use the two alternating sets of four vertices of the cube. Each has edge length $\sqrt2$ , a face diagonal of the cube.

The volume of a regular tetrahedron with edge length $s$ is $\dfrac{\sqrt2}{12}s^3$ . Thus one large tetrahedron has volume $\dfrac{\sqrt2}{12}(\sqrt2)^3=\dfrac13$ .

Intersect one tetrahedron with the other. Each face of the first cuts from the second a corner tetrahedron similar to the original with scale factor $\dfrac12$ , so each cut-off piece has $\dfrac18$ of the large tetrahedron’s volume.

There are four such corner pieces, so the intersection has $1-4\cdot\dfrac18=\dfrac12$ of the volume of one large tetrahedron. Hence the intersection volume is $\dfrac12\cdot\dfrac13=\dfrac16$ .

Thus, D is the correct answer.

25.

Sea $R$ una región cuadrada y $n \geq 4$ un entero. Un punto $X$ en el interior de $R$ se denomina $n$ -particional por rayos si hay $n$ rayos que emanan de $X$ y dividen $R$ en $n$ triángulos de igual área. ¿Cuántos puntos son $100$ -particional por rayos pero no $60$ -particional por rayos?

Let $R$ be a square region and $n \geq 4$ an integer. A point $X$ in the interior of $R$ is called $n$ -ray partitional if there are $n$ rays emanating from $X$ that divide $R$ into $n$ triangles of equal area. How many points are $100$ -ray partitional but not $60$ -ray partitional?

$1500$

$1560$

$2320$

$2480$

$2500$

Conceptos:descomposición de áreas punto reticular inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 2490

Pista pequeña:

Un punto $n$ -particional está en una cuadrícula de $(\frac{n}{2}-1)\times(\frac{n}{2}-1)$ .

An $n$ -ray point lies on an $(\frac{n}{2}-1)\times(\frac{n}{2}-1)$ grid

Pista grande:

Resta la superposición de las cuadrículas $49\times49$ y $29\times29$ .

Subtract the overlap of the $49\times49$ and $29\times29$ grids

Solución:

Escalemos el cuadrado para que tenga lado $1,$ y escribamos $X=(u,v),$ donde $u$ y $v$ son sus distancias a los lados izquierdo e inferior. Cada vértice debe estar unido a $X$ ; de lo contrario, alguna región que contenga ese vértice no sería un triángulo.

Cada uno de los $n$ triángulos tiene área $\frac{1}{n}.$ Un triángulo cuya base está en el lado inferior tiene altura $v,$ por lo que su base mide $\frac{2}{nv}.$ Así, el número de triángulos a lo largo del lado inferior es $\frac{nv}{2},$ que debe ser un entero positivo. Aplicando el mismo argumento a los cuatro lados, obtenemos que $\begin{gathered} \dfrac{nu}{2},\quad\dfrac{n(1-u)}{2},\\ \dfrac{nv}{2},\quad\dfrac{n(1-v)}{2} \end{gathered}$ son enteros positivos. Recíprocamente, cuando estos cuatro números son enteros, al subdividir cada lado en el número indicado de bases iguales y unir los puntos de división con $X$ , se producen los triángulos requeridos.

Para $n=100,$ esto dice que $u=\frac{i}{50}$ y $v=\frac{j}{50}$ , con $i,j\in\{1,2,\ldots,49\}.$ Por tanto, los puntos $100$ -particionales forman una cuadrícula de $49\times49$ . De manera similar, los puntos $60$ -particionales tienen coordenadas $u=\frac{i}{30}$ y $v=\frac{j}{30}$ , con $i,j\in\{1,2,\ldots,29\}.$

Una coordenada pertenece a ambas cuadrículas exactamente cuando $\frac{i}{50}=\frac{j}{30},$ o sea, $3i=5j.$ Las coordenadas comunes son entonces $\frac{1}{10},\frac{2}{10},\ldots,\frac{9}{10},$ lo que da una superposición de $9\times9$ . El número pedido es $49^2-9^2=2401-81=2320.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Scale the square to have side length $1,$ and write $X=(u,v),$ where $u$ and $v$ are its distances from the left and bottom sides. Every corner must be joined to $X$ ; otherwise one of the regions containing that corner would not be a triangle.

Each of the $n$ triangles has area $\frac{1}{n}.$ A triangle whose base lies on the bottom side has height $v,$ so its base has length $\frac{2}{nv}.$ Therefore the number of triangles along the bottom side is $\frac{nv}{2},$ which must be a positive integer. Applying the same argument to all four sides shows that $\begin{gathered} \dfrac{nu}{2},\quad\dfrac{n(1-u)}{2},\\ \dfrac{nv}{2},\quad\dfrac{n(1-v)}{2} \end{gathered}$ are positive integers. Conversely, whenever these four numbers are integers, subdividing each side into the indicated number of equal bases and joining the division points to $X$ produces the required triangles.

For $n=100,$ this says $u=\frac{i}{50}$ and $v=\frac{j}{50}$ for $i,j\in\{1,2,\ldots,49\}.$ Hence the $100$ -ray points form a $49\times49$ grid. Similarly, the $60$ -ray points have coordinates $u=\frac{i}{30}$ and $v=\frac{j}{30}$ with $i,j\in\{1,2,\ldots,29\}.$

A coordinate belongs to both grids exactly when $\frac{i}{50}=\frac{j}{30},$ or $3i=5j.$ Thus the common coordinates are $\frac{1}{10},\frac{2}{10},\ldots,\frac{9}{10},$ giving a $9\times9$ overlap. The requested number is $49^2-9^2=2401-81=2320.$

Thus, C is the correct answer.