Question

La hormiga Andy vive en un plano coordenado y actualmente está en $(-20, 20)$ mirando hacia el este (es decir, en la dirección positiva del eje $x$ ). Andy avanza $1$ unidad y luego gira $90^{\circ}$ a la izquierda. Desde ahí, Andy avanza $2$ unidades (hacia el norte) y luego gira $90^{\circ}$ a la izquierda. Después avanza $3$ unidades (hacia el oeste) y de nuevo gira $90^{\circ}$ a la izquierda. Andy continúa así, aumentando su distancia $1$ unidad cada vez y girando siempre a la izquierda. ¿Cuál es la ubicación del punto en el que Andy hace su $2020\text{th}$ giro a la izquierda?

Andy the Ant lives on a coordinate plane and is currently at $(-20, 20)$ facing east (that is, in the positive $x$ -direction). Andy moves $1$ unit and then turns $90^{\circ}$ left. From there, Andy moves $2$ units (north) and then turns $90^{\circ}$ left. He then moves $3$ units (west) and again turns $90^{\circ}$ left. Andy continues his progress, increasing his distance each time by $1$ unit and always turning left. What is the location of the point at which Andy makes the $2020\text{th}$ left turn?

$(-1030,-994)$

$(-1030,-990)$

$(-1026,-994)$

$(-1026,-990)$

$(-1022,-994)$

Solución:

En los primeros cuatro movimientos, Andy avanza $1$ al este, $2$ al norte, $3$ al oeste y $4$ al sur. El desplazamiento neto es $(1-3,2-4)=(-2,-2),$

y de nuevo queda mirando hacia el este. Como $2020=4\cdot 505$ , Andy completa $505$ ciclos de este tipo. Partiendo de $(-20,20)$ , su posición final es $\begin{aligned} &(-20,20)+505(-2,-2) \\ &\quad =(-1030,-990). \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

In the first four moves, Andy goes $1$ east, $2$ north, $3$ west, and $4$ south. The net change is $(1-3,2-4)=(-2,-2),$ and he is again facing east.

Since $2020=4\cdot 505$ , Andy completes $505$ such cycles. Starting from $(-20,20)$ , his final position is $\begin{aligned} &(-20,20)+505(-2,-2) \\ &\quad =(-1030,-990). \end{aligned}$

Thus, B is the correct answer.

2020 AMC 10B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años