Question

La representación decimal de $\frac{1}{20^{20}}$ consiste en una cadena de ceros después del punto decimal, seguida de un $9$ y luego varios dígitos más. ¿Cuántos ceros hay en esa cadena inicial de ceros después del punto decimal?

The decimal representation of $\frac{1}{20^{20}}$ consists of a string of zeros after the decimal point, followed by a $9$ and then several more digits. How many zeros are in that initial string of zeros after the decimal point?

$23$

$24$

$25$

$26$

$27$

Respuesta: D

Conceptos:decimal exponente valor posicional

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Reescribe $\frac{1}{20^{20}}$ como $\frac{5^{20}}{10^{40}}$ .

Rewrite $\frac{1}{20^{20}}$ as $\frac{5^{20}}{10^{40}}$

Pista grande:

Averigua cuántos dígitos tiene $5^{20}$ para saber cuántos ceros iniciales aparecen.

Find how many digits $5^{20}$ has to know how many leading zeros appear

Solución:

Podemos escribir $\frac{1}{20^{20}}=\frac{1}{(4\cdot5)^{20}}=\frac{5^{20}}{10^{40}}.$ Ahora $5^{20}=95{,}367{,}431{,}640{,}625,$ que tiene $14$ dígitos y comienza con $9.$ Al dividir entre $10^{40}$ , este número de $14$ dígitos queda después del punto decimal con $40-14=26$ ceros antes del primer dígito.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We can write $\frac{1}{20^{20}}=\frac{1}{(4\cdot5)^{20}}=\frac{5^{20}}{10^{40}}.$ Now $5^{20}=95{,}367{,}431{,}640{,}625,$ which has $14$ digits and begins with $9.$ Dividing by $10^{40}$ places this $14$ -digit number after the decimal point with $40-14=26$ zeros before the first digit.

Thus, the correct answer is D .

2020 AMC 10B Problema 12

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años