Question

¿Para cuántos enteros $x$ el punto $(x, -x)$ está dentro o sobre el círculo de radio $10$ con centro en $(5, 5)$ ?

For how many integers $x$ is the point $(x, -x)$ inside or on the circle of radius $10$ centered at $(5, 5)?$

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

La distancia al cuadrado de $(x,-x)$ a $(5,5)$ es $\begin{aligned} &(x-5)^2+(-x-5)^2 \\ &= 2x^2+50. \end{aligned}$

Estar dentro o sobre el círculo significa $2x^2+50\le100$ , así que $x^2\le25$ . Por lo tanto $-5\le x\le5$ , lo que da $11$ valores enteros.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The squared distance from $(x,-x)$ to $(5,5)$ is $\begin{aligned} &(x-5)^2+(-x-5)^2 \\ &= 2x^2+50. \end{aligned}$

Being inside or on the circle means $2x^2+50\le100$ , so $x^2\le25$ . Thus $-5\le x\le5$ , giving $11$ integer values.

Thus, the correct answer is A.