Question

Un hexágono regular tiene lado $6.$ Se trazan arcos congruentes de radio $3$ con centro en cada uno de los vértices, creando sectores circulares como se muestra. La región dentro del hexágono pero fuera de los sectores está sombreada como se muestra. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

A regular hexagon has side length $6.$ Congruent arcs with radius $3$ are drawn with the center at each of the vertices, creating circular sectors as shown. The region inside the hexagon but outside the sectors is shaded as shown What is the area of the shaded region?

$27\sqrt{3}-9\pi$

$27\sqrt{3}-6\pi$

$54\sqrt{3}-18\pi$

$54\sqrt{3}-12\pi$

$108\sqrt{3}-9\pi$

Solución:

Observa que podemos dividir el hexágono en $6$ triángulos equiláteros, cada uno de lado $6.$

Recuerda que el área de un triángulo equilátero de lado $s$ es $\dfrac{s^2 \sqrt{3}}{4}.$

Esto significa que el área del hexágono es $6 \cdot \dfrac{6^2 \sqrt{3}}{4} = 54\sqrt{3}.$

Como cada ángulo interior de un hexágono regular es $120^{\circ},$ los seis sectores forman $2$ círculos completos.

Esto significa que el área de todos los sectores es $2 \cdot 3^2 \pi = 18\pi.$

El área de la región sombreada es entonces $54\sqrt{3} - 18\pi.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that we can split the hexagon up into $6$ equilateral triangles each with side length $6.$

Recall that the area of an equilateral triangle with side length $s$ $\dfrac{s^2 \sqrt{3}}{4}.$

This means that the area of the hexagon is $6 \cdot \dfrac{6^2 \sqrt{3}}{4} = 54\sqrt{3}.$

Since each interior angle of a regular hexagon is $120^{\circ},$ the six sectors form $2$ full circles.

This means that the area of all the sectors is $2 \cdot 3^2 \pi = 18\pi.$

The area of the shaded region is then $54\sqrt{3} - 18\pi.$

Thus, C is the correct answer.

2014 AMC 10A Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años