Question

¿Cuántos enteros positivos de tres dígitos $N$ cumplen ambas propiedades siguientes: $N$ es divisible entre $7,$ y el número formado al invertir los dígitos de $N$ es divisible entre $5$ ?

How many three-digit positive integers $N$ satisfy both of the following properties: $N$ is divisible by $7,$ and the number formed by reversing the digits of $N$ is divisible by $5?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Solución:

Al invertir $N,$ su último dígito es el primer dígito de $N.$ Para que el número invertido sea divisible entre $5,$ ese dígito es $0$ o $5.$ Un número de tres dígitos no puede empezar con $0,$ así que $N$ empieza con $5,$ es decir $500 \le N \le 599$ (y el número invertido termina en $5,$ siempre válido). Ahora solo cuenta los múltiplos de $7$ aquí: desde $7 \cdot 72 = 504$ hasta $7 \cdot 85 = 595,$ lo que da $14$ números. Por lo tanto, la respuesta es B.

When we reverse $N,$ its last digit is the first digit of $N.$ For the reversal to be divisible by $5,$ that digit is $0$ or $5.$ A three-digit number can't start with $0,$ so $N$ starts with $5,$ meaning $500 \le N \le 599$ (and the reversal ends in $5,$ always fine). Now just count multiples of $7$ here: from $7 \cdot 72 = 504$ to $7 \cdot 85 = 595,$ that's $14$ numbers. Therefore, the answer is B.

2023 AMC 10A Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años