Question

Rolly quiere sujetar a su perro con una cuerda de $8$ pies a un cobertizo cuadrado de $16$ pies por lado. Se muestran sus dibujos preliminares.

¿Cuál de estas disposiciones da al perro mayor área para moverse, y por cuántos pies cuadrados?

Rolly wishes to secure his dog with an $8$ -foot rope to a square shed that is $16$ feet on each side. His preliminary drawings are shown.

Which of these arrangements gives the dog the greater area to roam, and by how many square feet?

I, por $8\pi$

I, by $8\pi$

I, por $6\pi$

I, by $6\pi$

II, por $4\pi$

II, by $4\pi$

II, por $8\pi$

II, by $8\pi$

II, por $10\pi$

II, by $10\pi$

Solución:

En la disposición I el perro está atado en el punto medio de un lado y barre un semidisco de radio $8$ : área $\frac12 \pi \cdot 8^2 = 32\pi.$ La cuerda llega exactamente a las esquinas, así que nada se envuelve.

En la disposición II el perro está atado a $4$ pies de una esquina. Barre el mismo semidisco de $32\pi$ , y después de que la cuerda llega a la esquina, quedan $4$ pies para barrer un cuarto de disco de radio $4$ : $\frac14 \pi \cdot 4^2 = 4\pi.$

Así que II da $36\pi,$ superando a I por $4\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

In arrangement I the dog is tied at the middle of a side and sweeps a half-disk of radius $8$ : area $\frac12 \pi \cdot 8^2 = 32\pi.$ The rope reaches exactly to the corners, so nothing wraps.

In arrangement II the dog is tied $4$ feet from a corner. It sweeps the same $32\pi$ half-disk, and after the rope reaches the corner, $4$ feet remain to sweep a quarter-disk of radius $4$ : $\frac14 \pi \cdot 4^2 = 4\pi.$

So II gives $36\pi,$ exceeding I by $4\pi.$

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 10A Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años