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2012 AMC 10B Problema 12

Intenta el Problema 12 del 2012 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2012 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

El punto BB está justo al este del punto A.A. El punto CC está justo al norte del punto B.B. La distancia entre los puntos AA y CC es 10210\sqrt 2 metros, y ∠BAC=45∘.\angle BAC = 45^\circ. El punto DD está 2020 metros justo al norte del punto C.C. ¿Entre qué dos enteros está la distancia ADAD?
Point BB is due east of point A.A. Point CC is due north of point B.B. The distance between points AA and CC is 10210\sqrt 2 meters, and ∠BAC=45∘.\angle BAC = 45^\circ. Point DD is 2020 meters due north of point C.C. The distance ADAD is between which two integers?
30 30 y 31 31
30 30 and 31 31
31 31 y 32 32
31 31 and 32 32
32 32 y 33 33
32 32 and 33 33
33 33 y 34 34
33 33 and 34 34
34 34 y 35 35
34 34 and 35 35
Respuesta: B
Conceptos:Teorema de Pitágorastriángulo rectángulo especialestimación
Nivel de dificultad: 1140
Pista pequeña:
El triángulo ABCABC es 4545-4545-9090.
Triangle ABCABC is 4545-4545-9090
Pista grande:
Halla ABAB y BDBD, y luego usa el teorema de Pitágoras.
Find ABAB and BDBD, then use the Pythagorean Theorem
Solución:
Como ABAB y BCBC son perpendiculares, AB2+BC2=(102)2=200.AB^2 + BC^2 = (10\sqrt 2)^2 = 200. Además, como ∠BAC=45∘,\angle BAC = 45^\circ, sabemos que △ABC\triangle ABC es un triángulo rectángulo isósceles, así que AB=BC,AB = BC , de donde 2AB2=200.2AB^2 = 200. Por lo tanto, AB=BC=10.AB = BC = 10.
En consecuencia, BD=BC+CD=30.BD= BC+CD = 30. Por el teorema de Pitágoras, AD2=AB2+BD2=102+302=1000\begin{aligned}AD^2 &= AB^2+BD^2 \\&= 10^2+30^2\\&=1000\end{aligned} Y como 312<AD2<322,31^2 \lt AD^2 \lt 32^2, tenemos 31<AD<3231 \lt AD\lt 32
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
We know ABAB and BCBC are perpendicular, so AB2+BC2=(102)2=200.AB^2 + BC^2 = (10\sqrt 2)^2 = 200. Also, as ∠BAC=45∘,\angle BAC = 45^\circ, we know that △ABC\triangle ABC is an isosceles right triangle, so AB=BC,AB = BC , making 2AB2=200.2AB^2 = 200. Thus, AB=BC=10.AB = BC = 10.
As such, we know that BD=BC+CD=30.BD= BC+CD = 30. Thus, by the Pythagorean Theorem, we have that AD2=AB2+BD2=102+302=1000\begin{aligned}AD^2 &= AB^2+BD^2 \\&= 10^2+30^2\\&=1000\end{aligned} Thus, since 312<AD2<322,31^2 \lt AD^2 \lt 32^2, we have 31<AD<3231 \lt AD\lt 32
Thus, the correct answer is B .
Problema 11#11
Examen completo
Problema 13#13

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