Question

El punto $B$ está justo al este del punto $A$ . El punto $C$ está justo al norte del punto $B$ . La distancia entre los puntos $A$ y $C$ es $10\sqrt 2$ , y $\angle BAC = 45^\circ$ . El punto $D$ está $20$ metros justo al norte del punto $C$ . ¿Entre qué dos enteros está la distancia $AD$ ?

Point $B$ is due east of point $A.$ Point $C$ is due north of point $B.$ The distance between points $A$ and $C$ is $10\sqrt 2,$ and $\angle BAC = 45^\circ.$ Point $D$ is $20$ meters due north of point $C.$ The distance $AD$ is between which two integers?

$30$ y $31$

$30$ and $31$

$31$ y $32$

$31$ and $32$

$32$ y $33$

$32$ and $33$

$33$ y $34$

$33$ and $34$

$34$ y $35$

$34$ and $35$

Solución:

Como $AB$ y $BC$ son perpendiculares, $AB^2 + BC^2 = (10\sqrt 2)^2 = 200.$ Además, como $\angle BAC = 45^\circ,$ sabemos que $\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo isósceles, así que $AB = BC ,$ de donde $2AB^2 = 200.$ Por lo tanto, $AB = BC = 10.$

En consecuencia, $BD= BC+CD = 30.$ Entonces, por el teorema de Pitágoras, $\begin{align*}AD^2 &= AB^2+BD^2 \\&= 10^2+30^2\\&=1000\end{align*}$ Y como $31^2 < AD^2 < 32^2,$ tenemos $31 \lt AD\lt 32$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

We know $AB$ and $BC$ are perpendicular, so $AB^2 + BC^2 = (10\sqrt 2)^2 = 200.$ Also, as $\angle BAC = 45^\circ,$ we know that $\triangle ABC$ is an isosceles right triangle, so $AB = BC ,$ making $2AB^2 = 200.$ Thus, $AB = BC = 10.$

As such, we know that $BD= BC+CD = 30.$ Thus, by the Pythagorean Theorem, we have that $\begin{align*}AD^2 &= AB^2+BD^2 \\&= 10^2+30^2\\&=1000\end{align*}$ Thus, since $31^2 < AD^2 < 32^2,$ we have $31 \lt AD\lt 32$

Thus, the correct answer is B .

2012 AMC 10B Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años