Question

¿Cuál de las siguientes condiciones es suficiente para garantizar que los enteros $x$ , $y$ , $z$ satisfacen la ecuación $x(x-y)+y(y-z)+z(z-x)$ $= 1$ ?

Which of the following conditions is sufficient to guarantee that integers $x,$ $y,$ and $z$ satisfy the equation $x(x-y)+y(y-z)+z(z-x)$ $= 1?$

x > y y $y=z$

x > y and $y=z$

$x=y-1$ y $y=z-1$

$x=y-1$ and $y=z-1$

$x=z+1$ y $y=x+1$

$x=z+1$ and $y=x+1$

$x=z$ y $y-1=x$

$x=z$ and $y-1=x$

$x+y+z=1$

Solución:

Desarrollamos y reescribimos: $\begin{gathered} x(x-y)+y(y-z)+z(z-x)\\ \small =\frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}. \end{gathered}$

Para que el valor sea $1$ , los tres términos cuadrados no negativos deben sumar $2$ . Como $x,y,z$ son enteros, esto significa que las diferencias al cuadrado son $1,1,0$ .

Así, dos de las variables deben ser iguales, y la tercera debe diferir de ellas en $1$ . La condición $x=z$ y $y-1=x$ garantiza exactamente eso.

Por lo tanto, la respuesta es D.

Expand and rewrite: $\begin{gathered} x(x-y)+y(y-z)+z(z-x)\\ \small =\frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}. \end{gathered}$

For the value to be $1$ , the three nonnegative square terms must sum to $2$ . Since $x,y,z$ are integers, this means the squared differences are $1,1,0$ .

Thus two of the variables must be equal, and the third must differ from them by $1$ . The condition $x=z$ and $y-1=x$ guarantees exactly that.

Thus, the answer is D .

2021 AMC 10B Fall Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años