Question

Al comienzo del año escolar, $50\%$ de todos los estudiantes de la clase de matemáticas del Sr. Wells respondieron «Sí» a la pregunta «¿Amas las matemáticas?», y $50\%$ respondieron «No». Al final del año escolar, $70\%$ respondieron «Sí» y $30\%$ respondieron «No». En total, $x\%$ de los estudiantes dieron una respuesta diferente al comienzo y al final del año escolar. ¿Cuál es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo posible de $x$ ?

At the beginning of the school year, $50\%$ of all students in Mr. Wells' math class answered "Yes" to the question "Do you love math", and $50\%$ answered "No." At the end of the school year, $70\%$ answered "Yes" and $30\%$ answered "No." Altogether, $x\%$ of the students gave a different answer at the beginning and end of the school year. What is the difference between the maximum and the minimum possible values of $x?$

$0$

$20$

$40$

$60$

$80$

Solución:

Para minimizar $x,$ queremos que la mayor cantidad posible de estudiantes mantenga su respuesta.

Entonces necesitamos que al menos el $70 - 50 = 20$ por ciento de los estudiantes cambien su respuesta.

Para maximizar $x,$ podemos hacer que todos los que respondieron no cambien su respuesta, pero algunos de los que respondieron sí deben seguir respondiendo sí.

Necesitamos que el $70 - 50 = 20$ por ciento de quienes dijeron sí sigan diciendo sí, lo que significa que solo el $50 - 20 = 30$ por ciento puede cambiar.

Esto hace que el porcentaje máximo de estudiantes que pueden cambiar sea el $50 + 30 = 80$ por ciento. La diferencia es entonces $80 - 20 = 60.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

To minimize $x,$ we want to have as many kids as possible maintain their answer.

We then need at least $70 - 50 = 20$ percent of the students to change their answer.

To maximize $x,$ we can have everybody that answered no change their answer, but some who answered yes must stay yes.

We need $70 - 50 = 20$ percent of the people who said yes to stay yes, which means only $50 - 20 = 30$ percent can switch.

This makes the maximum percent of students that can switch $50 + 30 = 80$ percent. The difference is then $80 - 20 = 60.$

Thus, D is the correct answer.

2010 AMC 10B Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años