Question

Supongamos que $n$ es el producto de tres enteros consecutivos y que $n$ es divisible entre $7.$ ¿Cuál de las siguientes opciones no es necesariamente un divisor de $n$ ?

Suppose that $n$ is the product of three consecutive integers and that $n$ is divisible by $7.$ Which of the following is not necessarily a divisor of $n?$

$6$

$14$

$21$

$28$

$42$

Solución:

Entre tres enteros consecutivos, al menos uno es par y uno es múltiplo de $3,$ así que $n$ es divisible entre $6.$ Con el factor dado de $7,$ es divisible entre $6, 14, 21,$ y $42.$

Pero $28=2^2\cdot7$ requiere dos factores de $2,$ lo cual no está garantizado: $5\cdot6\cdot7=210$ es divisible entre $7$ pero no entre $28.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Among three consecutive integers, at least one is even and one is a multiple of $3,$ so $n$ is divisible by $6.$ With the given factor of $7,$ it is divisible by $6, 14, 21,$ and $42.$

But $28=2^2\cdot7$ requires two factors of $2,$ which is not guaranteed: $5\cdot6\cdot7=210$ is divisible by $7$ but not by $28.$

Thus, the correct answer is D.

2001 AMC 10 Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años