Question

El triángulo

AMC

es isósceles con

AM = AC.

Las medianas

\overline{MV}

y

\overline{CU}

son perpendiculares entre sí, y

MV=CU=12.

¿Cuál es el área de

\triangle AMC

?

Triangle

AMC

is isosceles with

AM = AC.

Medians

\overline{MV}

and

\overline{CU}

are perpendicular to each other, and

MV=CU=12.

What is the area of

\triangle AMC?

48

72

96

144

192

Respuesta: C

Conceptos:mediana (geometría)baricentro geometría analítica

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Coloca el baricentro en el origen y alinea las medianas perpendiculares con los ejes.

Put the centroid at the origin and align the perpendicular medians with the axes

Pista grande:

El baricentro divide cada mediana en razón

2:1

.

The centroid divides each median in a

2:1

ratio

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Sea el baricentro el origen. Como el baricentro divide cada mediana en razón

2:1

, podemos colocar la mediana

MV

horizontalmente con

M=(8,0)

y

V=(-4,0)

, y la mediana

CU

verticalmente con

C=(0,8)

y

U=(0,-4)

.

Como

U

es el punto medio de

AM

, obtenemos

A=2U-M=(-8,-8)

. El área de

\triangle AMC

es

\dfrac12 |(16,8)\times(8,16)|

=\dfrac12(256-64)=96

. Así, C es la respuesta correcta.

Let the centroid be the origin. Since a centroid divides each median in a

2:1

ratio, we may place median

MV

horizontally with

M=(8,0)

and

V=(-4,0)

, and median

CU

vertically with

C=(0,8)

and

U=(0,-4)

.

Because

U

is the midpoint of

AM

, we get

A=2U-M=(-8,-8)

. The area of

\triangle AMC

is

\dfrac12 |(16,8)\times(8,16)|

=\dfrac12(256-64)=96

. Thus, C is the correct answer.

2020 AMC 10A Problema 12