Question

¿Cuál es la mediana de la siguiente lista de $4040$ números? $\begin{align*} &1, 2, 3, \ldots, 2020, \\&1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 2020^2 \end{align*}$

What is the median of the following list of $4040$ numbers? $\begin{align*} &1, 2, 3, \ldots, 2020, \\&1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 2020^2 \end{align*}$

$1974.5$

$1975.5$

$1976.5$

$1977.5$

$1978.5$

Solución en video:

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Solución escrita:

Para un número cercano a la mediana, la lista ordenada incluye todos los enteros ordinarios hasta ese número y todos los cuadrados hasta ese número. Como $44^2=1936$ y $45^2=2025$ , hay $44$ cuadrados que no exceden ningún número desde $1936$ hasta $2020$ .

En $1975$ , hay $1975+44=2019$ elementos de la lista que son a lo sumo $1975$ . En $1976$ , hay $2020$ elementos que son a lo sumo $1976$ , así que el elemento número $2020$ es $1976$ , y el siguiente es $1977$ . La mediana es $1976.5$ . Así, C es la respuesta correcta.

For a number near the median, the sorted list includes all ordinary integers up to that number and all squares up to that number. Since $44^2=1936$ and $45^2=2025$ , there are $44$ squares not exceeding any number from $1936$ through $2020$ .

At $1975$ , there are $1975+44=2019$ list entries at most $1975$ . At $1976$ , there are $2020$ entries at most $1976$ , so the $2020$ th entry is $1976$ , and the next is $1977$ . The median is $1976.5$ . Thus, C is the correct answer.

2020 AMC 10A Problema 11

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 11 en otros años