Question

Un consejo estudiantil debe seleccionar un comité de bienvenida de dos personas y un comité de planificación de tres personas de entre sus miembros. Hay exactamente $10$ maneras de seleccionar un equipo de dos personas para el comité de bienvenida. Es posible que los estudiantes sirvan en ambos comités. ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar un comité de planificación de tres personas?

A student council must select a two-person welcoming committee and a three-person planning committee from among its members. There are exactly $10$ ways to select a two-person team for the welcoming committee. It is possible for students to serve on both committees. In how many different ways can a three-person planning committee be selected?

$10$

$12$

$15$

$18$

$25$

Solución:

Sea $x$ el número de estudiantes. Entonces el número de maneras de elegir un comité de dos personas es $\binom{x}{2} = \dfrac{x(x - 1)}{2}.$ Sabemos que esto es igual a $10,$ así que $x^2 - x = 20$ $x^2 - x - 20 = 0.$ Al factorizar se obtiene $(x - 5)(x + 4) = 0$ $x = 5,$ ya que no puede haber un número negativo de estudiantes.

Entonces, el número de maneras de elegir un comité de $3$ personas es $\binom{5}{3} = \binom{5}{2} = 10.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $x$ be the number of students. Then the number of ways to pick a two-person committee is $\binom{x}{2} = \dfrac{x(x - 1)}{2}.$ We know that this equals $10,$ so $x^2 - x = 20$ $x^2 - x - 20 = 0.$ Factoring yields $(x - 5)(x + 4) = 0$ $x = 5,$ since there cannot be a negative number of students.

Then, the number of ways to pick a $3$ -person committee is $\binom{5}{3} = \binom{5}{2} = 10.$

Thus, A is the correct answer.

2013 AMC 10A Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años