Question

Ted escribió por error $2^m\cdot\sqrt{\dfrac{1}{4096}}$ como $2\cdot\sqrt[m]{\dfrac{1}{4096}}.$

¿Cuál es la suma de todos los números reales $m$ para los cuales estas dos expresiones tienen el mismo valor?

Ted mistakenly wrote $2^m\cdot\sqrt{\dfrac{1}{4096}}$ as $2\cdot\sqrt[m]{\dfrac{1}{4096}}.$

What is the sum of all real numbers $m$ for which these two expressions have the same value?

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Solución:

Podemos reescribir $4096$ como $2^{12},$ así que $\dfrac{1}{4096} = 2^{-12}.$ Entonces, si igualamos las expresiones dadas, obtenemos $2^m \cdot 2^{-6} = 2 \cdot 2^{\frac{-12}{m}}.$ Igualando los exponentes, obtenemos $m - 6 = 1 + \dfrac{-12}{m}.$

Multiplicando por $m,$ obtenemos $m^2 - 6m = m - 12$ y así $m^2 - 7m + 12 = 0$ $(m-4)(m-3)$ $m=4,~m=3$

Por lo tanto, vemos que la suma de las soluciones es $7.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can rewrite $4096$ as $2^{12},$ so $\dfrac{1}{4096} = 2^{-12}.$ Then if we equate the given expressions, we get $2^m \cdot 2^{-6} = 2 \cdot 2^{\frac{-12}{m}}.$ Equating the exponents, we get $m - 6 = 1 + \dfrac{-12}{m}.$

Multiplying by $m,$ we get $m^2 - 6m = m - 12$ and so $m^2 - 7m + 12 = 0$ $(m-4)(m-3)$ $m=4,~m=3$

Therefore, we can see that the sum of the solutions is $7.$

Thus, C is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años