Question

Ted escribió por error

2^m\cdot\sqrt{\dfrac{1}{4096}}

como

2\cdot\sqrt[m]{\dfrac{1}{4096}}.

¿Cuál es la suma de todos los números reales

m

para los cuales estas dos expresiones tienen el mismo valor?

Ted mistakenly wrote

2^m\cdot\sqrt{\dfrac{1}{4096}}

as

2\cdot\sqrt[m]{\dfrac{1}{4096}}.

What is the sum of all real numbers

m

for which these two expressions have the same value?

5

6

7

8

9

Respuesta: C

Conceptos:exponente cuadrática

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Reescribe

4096

como una potencia de

2

.

Rewrite

4096

as a power of

2

Pista grande:

Después de igualar las potencias de

2,

resuelve la ecuación cuadrática resultante en m.

After matching powers of

2,

solve the resulting quadratic equation in m

Solución:

Podemos reescribir

4096

como

2^{12},

así que

\dfrac{1}{4096} = 2^{-12}.

Entonces, si igualamos las expresiones dadas, obtenemos

2^m \cdot 2^{-6} = 2 \cdot 2^{\frac{-12}{m}}.

Igualando los exponentes, obtenemos

m - 6 = 1 + \dfrac{-12}{m}.

Multiplicando por

m,

obtenemos

m^2 - 6m = m - 12

y así

m^2 - 7m + 12 = 0

(m-4)(m-3)

m=4,~m=3

Por lo tanto, vemos que la suma de las soluciones es

7.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can rewrite

4096

as

2^{12},

so

\dfrac{1}{4096} = 2^{-12}.

Then if we equate the given expressions, we get

2^m \cdot 2^{-6} = 2 \cdot 2^{\frac{-12}{m}}.

Equating the exponents, we get

m - 6 = 1 + \dfrac{-12}{m}.

Multiplying by

m,

we get

m^2 - 6m = m - 12

and so

m^2 - 7m + 12 = 0

(m-4)(m-3)

m=4,~m=3

Therefore, we can see that the sum of the solutions is

7.

Thus, C is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 11

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años